設(shè)，且曲線y＝f（x）在x＝1處的切線與x軸平行。

（Ⅰ）求的值，并討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）證明：當(dāng)

 

【答案】

（Ⅰ）函數(shù)的增區(qū)間為   減區(qū)間為

（Ⅱ）見解析

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。利用導(dǎo)數(shù)來判定函數(shù)單調(diào)性和研究函數(shù)的最值的綜合運(yùn)用。（1）利用，且曲線y＝f（x）在x＝1處的切線與x軸平行，求解得到參數(shù)a的值，然后代入函數(shù)式中求解導(dǎo)數(shù)大于零或者小于零的解集，得到結(jié)論。

（2）在第一問的基礎(chǔ)上，根據(jù)在單調(diào)增加，故在的最大值為

最小值為，從而證明即可。顯然成立

解：（Ⅰ） 

由題知：        所以  ＝－1　　    ………2分

此時(shí)：

所以函數(shù)的增區(qū)間為   減區(qū)間為 ………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在單調(diào)增加，故在的最大值為，

最小值為

從而對(duì)任意，，有

而當(dāng)時(shí)，   從而     

 

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（）設(shè)，且曲線y＝f（x）在x＝1處的切線與x軸平行。

⑴求a的值，并討論f（x）的單調(diào)性；

⑵證明：當(dāng)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年湖北岳中高中一輪復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)滾動(dòng)測(cè)試三解析版 題型：解答題

(14分)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋k(k>0)在x＝0處取得極值，且曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線垂直于直線x＋2y＋1＝0.

(1)求a，b的值；

(2)若函數(shù)g(x)＝，討論g(x)的單調(diào)性．

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年湖南省、岳陽縣一中高三11月聯(lián)考理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本小題滿分13分）(第一問8分，第二問5分)

已知函數(shù)f(x)＝2lnx，g(x)＝ax2＋3x.

（1）設(shè)直線x＝1與曲線y＝f(x)和y＝g(x)分別相交于點(diǎn)P、Q，且曲線y＝f(x)和y＝g(x)在點(diǎn)P、Q處的切線平行，若方程f(x2＋1)＋g(x)＝3x＋k有四個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)F(x)滿足F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x2－(a＋6)x＋1.其中f′(x)，g′(x)分別是函數(shù)f(x)與g(x)的導(dǎo)函數(shù)；試問是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈(0,1］時(shí)，F(x)取得最大值，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012屆湖南省澧縣一中、岳陽縣一中高三11月聯(lián)考理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本小題滿分13分）(第一問8分，第二問5分)
已知函數(shù)f(x)＝2lnx，g(x)＝ax2＋3x.
（1）設(shè)直線x＝1與曲線y＝f(x)和y＝g(x)分別相交于點(diǎn)P、Q，且曲線y＝f(x)和y＝g(x)在點(diǎn)P、Q處的切線平行，若方程f(x2＋1)＋g(x)＝3x＋k有四個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)F(x)滿足F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x2－(a＋6)x＋1.其中f′(x)，g′(x)分別是函數(shù)f(x)與g(x)的導(dǎo)函數(shù)；試問是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈(0,1］時(shí)，F(x)取得最大值，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.

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