Question

（本題12分）在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4 a_n-3n+1，n∈N^*.

（1）證明數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；（3）證明不等式S_n+1≤4S_n，對(duì)任意n∈N^*皆成立。

Answer 1

(Ⅰ) 見解析   (Ⅱ) S _n=  （Ⅲ）見解析

解析:

（1）證明：由題設(shè)a_n+1=4 a_n-3n+1，得a_n+1  ^_（n+1）=4 (a_n-n), n∈N^*，

        又a₁-1=1，所以數(shù)列{ a_n-n }是首項(xiàng)為1，且公比為4的等比數(shù)列。

       （2）由（1）可知a_n - n=4 ^n-1，于是數(shù)列{ a_n}的通項(xiàng)公式為a_n= 4 ^n-1+n，

        所以數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S _n=。

       （3）證明：對(duì)任意的n∈N^*，

       

                 。

         ∵對(duì)任意n∈N^*，，∴，

         所以不等式S_n+1≤4S_n，對(duì)任意n∈N^*皆成立。