【題目】已知函數(shù), , ,
(1)求證:函數(shù)在點處的切線恒過定點,并求出定點的坐標;
(2)若在區(qū)間上恒成立,求的取值范圍;
(3)當時,求證:在區(qū)間上,滿足恒成立的函數(shù)有無窮多個.(記)
【答案】(1) 切線恒過定點.(2) 的范圍是 (3) 在區(qū)間上,滿足恒成立函數(shù)有無窮多個
【解析】試題分析:(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程為,故過定點;(2)根據(jù)的取值的不同情況分類討論處理,最后得的范圍是;(3)見解析。
試題解析:
(1)因為,所以在點處的切線的斜率為,
所以在點處的切線方程為,
整理得,所以切線恒過定點.
(2)令 ,對恒成立,
因為
令,得極值點, ,
①當時,有,即時,在上有,
此時在區(qū)間上是增函數(shù),并且在該區(qū)間上有,不合題意;
②當時,有,同理可知, 在區(qū)間上,有,也不合題意;
③當時,有,此時在區(qū)間上恒有,
從而在區(qū)間上是減函數(shù);
要使在此區(qū)間上恒成立,只須滿足,
所以.
綜上可知的范圍是.
(利用參數(shù)分離得正確答案扣2分)
(3)當時, ,
記, .
因為,
令,得
所以在為減函數(shù),在上為增函數(shù),
所以當時,
設(shè),則,
所以在區(qū)間上,滿足恒成立函數(shù)有無窮多個
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓G: + =1(b>0)的上、下頂點和右焦點分別為M、N和F,且△MFN的面積為4 .
(1)求橢圓G的方程;
(2)若斜率為1的直線l與橢圓G交于A、B兩點.以AB為底作等腰三角形,頂點為P(﹣3,2),求△PAB的面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】荊州市政府為促進淡水魚養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展,將價格控制在適當?shù)姆秶鷥?nèi),決定對淡水魚養(yǎng)殖提供政府補貼.設(shè)淡水魚的市場價格為元/千克,政府補貼為元/千克.根據(jù)市場調(diào)查,當時,淡水魚的市場日供應(yīng)量千克與市場日需求量千克近似滿足關(guān)系;.當市場日供應(yīng)量與市場日需求量相等時的市場價格稱為市場平衡價格.
(1)將市場平衡價格表示為政府補貼的函數(shù),并求其定義域;
(2)為使市場平衡價格不高于10元/千克,政府補貼至少為每千克多少元?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=1+lnx﹣ ,其中k為常數(shù).
(1)若k=0,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程.
(2)若k=5,求證:f(x)有且僅有兩個零點;
(3)若k為整數(shù),且當x>2時,f(x)>0恒成立,求k的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), ,其中.
(1)當時,求函數(shù)的值域;
(2)若對任意,均有,求的取值范圍;
(3)當時,設(shè),若的最小值為,求實數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x+1)﹣f(x)=2x(x∈R),且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)﹣2tx在區(qū)間[﹣1,5]上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)t的取值范圍;
(3)若關(guān)于x的方程f(x)=x+m有區(qū)間(﹣1,2)上有唯一實數(shù)根,求實數(shù)m的取值范圍(注:相等的實數(shù)根算一個).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】函數(shù), ().
(Ⅰ)若,設(shè),試證明存在唯一零點,并求的最大值;
(Ⅱ)若關(guān)于的不等式的解集中有且只有兩個整數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,c= asinC﹣ccosA.
(1)求A;
(2)若a=2,△ABC的面積為 ,求b,c.
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