Question

對(duì)于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義：設(shè)f′′（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若f′′（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”．現(xiàn)已知f（x）=x³-3x²+2x-2，請(qǐng)解答下列問題：
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的“拐點(diǎn)”A的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求證f（x）的圖象關(guān)于“拐點(diǎn)”A 對(duì)稱；并寫出對(duì)于任意的三次函數(shù)都成立的有關(guān)“拐點(diǎn)”的一個(gè)結(jié)論（此結(jié)論不要求證明）；
（Ⅲ）若另一個(gè)三次函數(shù)G（x）的“拐點(diǎn)”為B（0，1），且一次項(xiàng)系數(shù)為0，當(dāng)x₁＞0，x₂＞0（x₁≠x₂）時(shí)，試比較

G(x1)+G(x2)

2

與G(

x1+x2

2

)的大�。�

Answer 1

分析：（1）先求f′（x）得解析式，再求f″（x），由f″（x）=0 求得拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式求拐點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-6x+2…（1分）f″（x）=6x-6令f″（x）=6x-6=0得x=1…（2分）f（1）=1³-3+2-2=-2∴拐點(diǎn)A（1，-2）…（3分）
（2）設(shè)P（x₀，y₀）是y=f（x）圖象上任意一點(diǎn)，則y₀=x₀³-3x₀²+2x₀-2，因?yàn)镻（x₀，y₀）關(guān)于A（1，-2）的對(duì)稱點(diǎn)為P'（2-x₀，-4-y₀），
把P'代入y=f（x）得左邊=-4-y₀=-x₀³+3x₀²-2x₀-2
右邊=（2-x₀）³-3（2-x₀）²+2（2-x₀）-2=-x₀³+3x₀²-2x₀-2∴右邊=右邊∴P′（2-x₀，-4-y₀）在y=f（x）圖象上∴y=f（x）關(guān)于A對(duì)稱        …（7分）
結(jié)論：①任何三次函數(shù)的拐點(diǎn)，都是它的對(duì)稱中心
②任何三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”
③任何三次函數(shù)都有“對(duì)稱中心”（寫出其中之一）…（9分）
（3）設(shè)G（x）=ax³+bx²+d，則G（0）=d=1…（10分）∴G（x）=ax³+bx²+1，G'（x）=3ax²+2bx，G''（x）=6ax+2bG''（0）=2b=0，b=0，∴G（x）=ax³+1=0…（11分）
法一：

G(x1)+G(x2)

2

-G(

x1+x2

2

)=

a

2

x

3 1

+

a

2

x

3 2

-a(

x1+x2

2

)3=a[

1

2

x

3 1

+

1

2

x

3 2

-(

x1+x2

2

)3]=

a

2

[

x

3 1

+

x

3 2

-

x 3 1 + x 3 2 +3 x 2 1 x2+3x1 x 2 2

4

]=

a

8

(3

x

3 1

+3

x

3 2

-3

x

2 1

x2-3x1

x

2 2

)=

a

8

[3

x

2 1

(x1-x2)-3

x

2 2

(x1-x2)]=

3a

8

(x1-x2)2(x1+x2)…（13分）
當(dāng)a＞0時(shí)，

G(x1)+G(x2)

2

＞G(

x1+x2

2

)
當(dāng)a＜0時(shí)，

G(x1)+G(x2)

2

＜G(

x1+x2

2

)…（14分）
法二：G′′（x）=3ax，當(dāng)a＞0時(shí)，且x＞0時(shí)，G′′（x）＞0，∴G（x）在（0，+∞）為凹函數(shù)，∴

G(x1)+G(x2)

2

＞G(

x1+x2

2

)…（13分）
當(dāng)a＜0時(shí)，G′′（x）＜0，∴G（x）在（0，+∞）為凸函數(shù)∴

G(x1)+G(x2)

2

＜G(

x1+x2

2

)…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)的求法，函數(shù)的拐點(diǎn)的定義以及函數(shù)圖象關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的條件．屬于中檔題．