Question

已知二次函數(shù)的最小值為，且關(guān)于的一元二次不等式的解集為。

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）設(shè)其中，求函數(shù)在時的最大值；

（Ⅲ）若（為實數(shù)），對任意，總存在使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）,（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）屬于三個二次之間的關(guān)系，由一元二次不等式的解集為 可知二次函數(shù)有兩個零點分別為-2,0.求得a與b的關(guān)系，再根據(jù)的最小值為-1，得的值求出解析式,( Ⅱ)由（Ⅰ）得出解析式再利用二次函數(shù)動軸定區(qū)間思想求解, （Ⅲ）利用( Ⅱ)得出的解析式，再利用單調(diào)性求得k的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）0,2是方程的兩根，，又的最小值即 

所以                                  .（4分）

（Ⅱ）

分以下情況討論的最大值 

（1）.當(dāng)時，在上是減函數(shù)，

                         .（6分）

（2）.當(dāng)時，的圖像關(guān)于直線對稱，

，故只需比較與的大小.

當(dāng)時，即時，. （8分）

當(dāng)時，即時，

；          .（9分）

綜上所得.                     .（10分）

（Ⅲ），函數(shù)的值域為

在區(qū)間上單調(diào)遞增，故值域為，對任意，總存在使得成立，則

                              .（14分）

考點：解析式求法,二次函數(shù)求最值,恒成立問題.