Question

記函數(shù)f（x）的定義域為D，若存在x₀∈D，使得f（x）=x成立，則稱（x₀，x₀）為函數(shù)f（x）圖象上的“穩(wěn)定點”.

（1）是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f（x）=的圖象上有且僅有兩個相異的穩(wěn)定點?若存在，求出范圍；若不存在，請說明理由.

（2）若函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，求證：函數(shù)必有奇數(shù)個穩(wěn)定點.

Answer 1

（1）解：設(shè)函數(shù)f（x）=的圖象上有且僅有兩個相異的穩(wěn)定點，則f（x）==x，即有兩個相異的根，

所以

解之，得a＞5或a＜1，a≠-.

因此存在a∈（-∞，-）∪（-，1）∪（5，+∞）使得函數(shù)f（x）=的圖象上有且僅有兩個相異的穩(wěn)定點.

（2）證明：因為函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（-0）=-f（0），即f（0）=0.因此（0，0）是f（x）的一個穩(wěn)定點.假設(shè)函數(shù)還有穩(wěn)定點（x₀，x₀），即f（x₀）=x₀，則必定有f（-x₀）=-x₀.這說明（-x₀，-x₀）也是函數(shù)的穩(wěn)定點.

綜上所述，奇函數(shù)的穩(wěn)定點除原點外，都是成對出現(xiàn)，因此其穩(wěn)定點的個數(shù)是奇數(shù).