Question

記函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若存在x₀∈D，使f（x₀）=x₀成立，則稱(chēng)以（x₀，x₀）為坐標(biāo)的點(diǎn)為函數(shù)f（x）圖象上的不動(dòng)點(diǎn)．
（1）若函數(shù)f(x)=

3x+a

x+b

圖象上有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y）到直線y=x的距離d=

|x-y|

2

．在（1）的條件下，若a=8，記函數(shù)f（x）圖象上的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)分別為A₁，A₂，P為函數(shù)f（x）圖象上的另一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)y_P＞3，求點(diǎn)P到直線A₁A₂距離的最小值及取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）下述命題“若定義在R上的奇函數(shù)f（x）圖象上存在有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則不動(dòng)點(diǎn)有奇數(shù)個(gè)”是否正確？若正確，請(qǐng)給予證明；若不正確，請(qǐng)舉一反例．若地方不夠，可答在試卷的反面．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f(x)=

3x+a

x+b

圖象上有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的不動(dòng)點(diǎn)，即x²+（b-3）x-a=0有兩個(gè)互為相反的根，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求a，b的關(guān)系
（2）若a=8，b=3可得f（x）=

3x+8

x+3

=x可求A₁A₂所在 的直線方程為x-y=0，設(shè)P（x，y）則由y=

3x+8

x+3

＞3可得x＜-3，點(diǎn)P到直線A₁A₂的距離d=

|x-y|

2

=|

x2-8

x+3

|×

1

2

=

|x+3+ 1 x+3 -6|

2

（x＜-3）=-(x+3)+

1

-(x+3)

+6，利用基本不等式可求d的最小值及取得最小值的P
（3）令g（x）=f（x）-x則由f（x）為奇函數(shù)可得g（x）為奇函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得g（0）=0，當(dāng)x≠0時(shí)，若g（x）=0，則g（-x）=-g（x）=0，從而可得g（x）=0的零點(diǎn)有奇數(shù)個(gè)即f（x）=x的根有奇數(shù)個(gè)

解答：解：（1）函數(shù)f(x)=

3x+a

x+b

圖象上有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的不動(dòng)點(diǎn)，
∴f（x）=x有兩個(gè)互為相反數(shù)的根
即x²+（b-3）x-a=0有兩個(gè)互為相反的根
∴

b-3=0 -a＜0

∴b=3，a＞0
（2）若a=8，b=3則可得f（x）=

3x+8

x+3

=x
∴x=±2

2

即 A1(2

2

，2

2

)，A2(-2

2

，-2

2

)
∴A₁A₂所在 的直線方程為x-y=0
設(shè)P（x，y）則由y=

3x+8

x+3

＞3可得x＜-3
點(diǎn)P到直線A₁A₂的距離d=

|x-y|

2

=|

x2-8

x+3

|×

1

2

=

|x+3+ 1 x+3 -6|

2

（x＜-3）
=

1

2

[-(x+3)+

1

-(x+3)

+6]≥

2 -(x+3)• -1 x+3 +6

2

=4

2

d_min=4

2

，此時(shí)x+3=

1

x+3

即x=-4，P（-4，4）
（3）令g（x）=f（x）-x則由f（x）為奇函數(shù)可得g（x）為奇函數(shù)
由奇函數(shù)的性質(zhì)可得g（0）=0
當(dāng)x≠0時(shí)，若g（x）=0，則g（-x）=-g（x）=0
∴g（x）=0的零點(diǎn)有奇數(shù)個(gè)即f（x）=x的根有奇數(shù)個(gè)
若定義在R上的奇函數(shù)f（x）圖象上存在有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則不動(dòng)點(diǎn)有奇數(shù)個(gè)為真命題

點(diǎn)評(píng)：本題以新定義為切入點(diǎn)，主要考查了方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，及基本不等式在求解函數(shù)最值中的應(yīng)用及條件的配湊，及奇函數(shù)性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用．