Question

在△ABC中，a=1，b=2，則滿足△ABC是銳角三角形的一個(gè)條件是（　�。�

• A．1＜c＜

  5

• B．

  3

  ＜c＜3
• C．1＜c＜3
• D．

  3

  ＜c＜

  5

Answer 1

分析：當(dāng)C為最大角時(shí)，利用余弦定理表示出cosC，將a與b的值代入，整理后根據(jù)三角形ABC為銳角三角形，得到C為銳角，確定出cosC大于0，列出關(guān)于c的不等式，求出不等式的解集得到c的范圍；當(dāng)B為最大角時(shí)，同理求出c的范圍，再利用三角形的三邊關(guān)系，確定出c的具體范圍，即為三角形ABC為銳角三角形的一個(gè)條件．

解答：解：當(dāng)C為最大角時(shí)，
∵a=1，b=2，
∴由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1+4-c2

4

=

5-c2

4

，
若C為銳角時(shí)，△ABC為銳角三角形，此時(shí)cosC＞0，即

5-c2

4

＞0，
可得：2＜c＜

5

；
當(dāng)B為最大角時(shí)，cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1+c2-4

2c

=

c2-3

2c

，
若B為銳角，△ABC為銳角三角形，此時(shí)cosB＞0，即

c2-3

2c

＞0，
可得：

3

＜c≤2，
綜上，滿足題意c的范圍為：

3

＜c＜

5

．
故選D

點(diǎn)評：此題考查了余弦定理，以及三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．