【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-ax(a∈R)(e=2.718 28…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)判斷f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)f(x)<0在(0,+∞)上恒成立時(shí),求a的取值范圍;

(3)證明:當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí), (1+x) <e.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】(1)f′(x)=-a,函數(shù)f(x)=ln x-ax的定義域?yàn)?0,+∞),

當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0,此時(shí)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),

當(dāng)a>0時(shí),x∈時(shí),f′(x)>0,此時(shí)f(x)在上是增函數(shù),x∈時(shí),f′(x)<0,此時(shí)f(x)在上是減函數(shù).

綜上,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),當(dāng)a>0時(shí),f(x)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).

(2)f(x)<0在(0,+∞)上恒成立,即a>在(0,+∞)上恒成立,

設(shè)g(x)=,則g′(x)=

當(dāng)x∈(0,e)時(shí),g′(x)>0,g(x)為增函數(shù),當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),g′(x)<0,g(x)為減函數(shù),

故當(dāng)x=e時(shí),g(x)取得最大值,

所以a的取值范圍是.

(3)證明:要證當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí), (1+x) <e,設(shè)t=1+x,t∈(1,+∞),只要證t<et,兩邊取以e為底數(shù)的對(duì)數(shù),即ln t<t-1.

由(1)知當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ln x-x的最大值為-1,此時(shí)x=1,所以當(dāng)t∈(1,+∞)時(shí),ln t-t<-1,

即得ln t<t-1,所以原不等式成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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分組







頻率







將每天準(zhǔn)備收看奧運(yùn)會(huì)直播的時(shí)間不低于分鐘的觀眾稱(chēng)為奧運(yùn)迷,已知奧運(yùn)迷中有

以上的觀眾.

1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否有以上的把握認(rèn)為奧運(yùn)迷與年齡

有關(guān)?


奧運(yùn)迷

奧運(yùn)迷

合計(jì)

歲以下




歲以上




合計(jì)




2)將每天準(zhǔn)備收看奧運(yùn)會(huì)直播不低于分鐘的觀眾稱(chēng)為超級(jí)奧運(yùn)迷,已知超級(jí)奧運(yùn)迷中有

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答對(duì)題目數(shù)

[0,8)

8

9

10

2

13

12

8

3

37

16

9

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