Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)為偶函數(shù)，求實數(shù)的值；

（2）存在實數(shù)，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若方程在上有且僅有兩個不相等的實根，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

(1)根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義，可求得實數(shù)的值；

(2)由，得，由于，對a進(jìn)行參數(shù)分離得，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和不等式的存在性，可求得實數(shù)的取值范圍；

(3)分①當(dāng)時，②當(dāng)，③當(dāng)時，分別討論方程的根的情況，可求得實數(shù)的取值范圍.

（1）因為函數(shù)為偶函數(shù)，即函數(shù)為偶函數(shù)，所以，

所以或，解得，

所以實數(shù)的值為1；

（2），即，則，∵，

∴，

令，則的定義域為，

設(shè)，則，

當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

因為是定義域為的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∵，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，

∴，得到；

（3）①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，此時方程沒有根；

②當(dāng)，，即時，因為有兩個正根，

所以，得，

③當(dāng)時，設(shè)方程的兩個根為，則有，結(jié)合圖形可知在上必有兩個不同的實根.

綜上，實數(shù)的取值范圍為.