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【題目】在平面直角坐標系xOy中,橢圓E: =1(a>b>0)的離心率為 ,焦距為2.(14分)
(Ⅰ)求橢圓E的方程.
(Ⅱ)如圖,該直線l:y=k1x﹣ 交橢圓E于A,B兩點,C是橢圓E上的一點,直線OC的斜率為k2 , 且看k1k2= ,M是線段OC延長線上一點,且|MC|:|AB|=2:3,⊙M的半徑為|MC|,OS,OT是⊙M的兩條切線,切點分別為S,T,求∠SOT的最大值,并求取得最大值時直線l的斜率.

【答案】解:(Ⅰ)由題意知, ,解得a= ,b=1.
∴橢圓E的方程為 ;
(Ⅱ)設A(x1 , y1),B(x2 , y2),
聯立 ,得
由題意得△= >0.

∴|AB|=
由題意可知圓M的半徑r為
r=
由題意設知, ,∴
因此直線OC的方程為
聯立 ,得
因此,|OC|=
由題意可知,sin =
=
令t= ,則t>1, ∈(0,1),
因此, = ≥1.
當且僅當 ,即t=2時等式成立,此時
,因此
∴∠SOT的最大值為
綜上所述:∠SOT的最大值為 ,取得最大值時直線l的斜率為

【解析】(Ⅰ)由題意得關于a,b,c的方程組,求解方程組得a,b的值,則橢圓方程可求;
(Ⅱ)設A(x1 , y1),B(x2 , y2),聯立直線方程與橢圓方程,利用根與系數的關系求得A,B的橫坐標的和與積,由弦長公式求得|AB|,由題意可知圓M的半徑r,則r= .由題意設知 .得到直線OC的方程,與橢圓方程聯立,求得C點坐標,可得|OC|,由題意可知,sin = .轉化為關于k1的函數,換元后利用配方法求得∠SOT的最大值為 ,取得最大值時直線l的斜率為
【考點精析】本題主要考查了函數的值域和橢圓的標準方程的相關知識點,需要掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的.事實上,如果在函數的值域中存在一個最。ù螅⿺,這個數就是函數的最。ù螅┲担虼饲蠛瘮档淖钪蹬c值域,其實質是相同的;橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:才能正確解答此題.

練習冊系列答案
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【題目】已知函數,.

1)當時,求函數的單調遞增區(qū)間;

2)對于,為任意實數,關于的方程恰好有兩個不等實根,求實數的值;

3)在(2)的條件下,若不等式恒成立,求實數的取值范圍.

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【題目】已知公比小于1的等比數列{an}的前n項和為Sn , a1= ,且13a2=3S3(n∈N*).
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設bn=log3(1﹣Sn+1),若 + +…+ = ,求n.

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【題目】已知雙曲線 =1(a>0,b>0)的左焦點為F,離心率為 .若經過F和P(0,4)兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線,則雙曲線的方程為( 。
A.
=1
B.
=1
C.
=1
D.
=1

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【題目】已知直線.

1)若,求實數的值;

2)若,求實數的值.

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【題目】為了解學生暑假閱讀名著的情況,一名教師對某班級的所有學生進行了調查,調查結果如下表.

男生

女生

)從這班學生中任選一名男生,一名女生,求這兩名學生閱讀名著本數之和為的概率?

)若從閱讀名著不少于本的學生中任選人,設選到的男學生人數為,求隨機變量的分布列和數學期望.

)試判斷男學生閱讀名著本數的方差與女學生閱讀名著本數的方程的大。

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【題目】已知拋物線C:y2=2x,過點(2,0)的直線l交C與A,B兩點,圓M是以線段AB為直徑的圓.
(Ⅰ)證明:坐標原點O在圓M上;
(Ⅱ)設圓M過點P(4,﹣2),求直線l與圓M的方程.

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【題目】某“雙一流A類大學就業(yè)部從該校2018年已就業(yè)的大學本科畢業(yè)生中隨機抽取了100人進行問卷調查,其中一項是他們的月薪收入情況,調查發(fā)現,他們的月薪收入在人民幣1.65萬元到2.35萬元之間,根據統(tǒng)計數據分組,得到如下的頻率分布直方圖:

(1)為感謝同學們對這項調查工作的支持,該校利用分層抽樣的方法從樣本的前兩組中抽出6人,各贈送一份禮品,并從這6人中再抽取2人,各贈送某款智能手機1部,求獲贈智能手機的2人月薪都不低于1.75萬元的概率;

(2)同一組數據用該區(qū)間的中點值作代表.

(i)求這100人月薪收入的樣本平均數和樣本方差;

(ii)該校在某地區(qū)就業(yè)的2018屆本科畢業(yè)生共50人,決定于2019國慶長假期間舉辦一次同學聯誼會,并收取一定的活動費用,有兩種收費方案:

方案一:設,月薪落在區(qū)間左側的每人收取400元,月薪落在區(qū)間內的每人收到600元,月薪落在區(qū)間右側的每人收取800元.

方案二:按每人一個月薪水的3%收;用該校就業(yè)部統(tǒng)計的這100人月薪收入的樣本頻率進行估算,哪一種收費方案能收到更多的費用?

參考數據:.

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【題目】某園林基地培育了一種新觀賞植物,經過了一年的生長發(fā)育,技術人員從中抽取了部分植株的高度(單位:厘米)作為樣本(樣本容量為)進行統(tǒng)計,按 分組做出頻率分布直方圖,并作出樣本高度的莖葉圖(圖中僅列出了高度在的數據).

(1)求樣本容量和頻率分布直方圖中的

(2)在選取的樣本中,從高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中隨機抽取3株,設隨機變量表示所抽取的3株高度在 內的株數,求隨機變量的分布列及數學期望.

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