Question

已知6sin²α+sinαcosα-2cos²α=0，α∈[

π

2

，π]，求sin(2α+

π

3

)的值．

Answer 1

分析：先對6sin²α+sinαcosα-2cos²α=0進行因式分解得到sinα、cosα的關(guān)系，再根據(jù)α的范圍求出tanα的值，將sin(2α+

π

3

)用兩角和與差的正弦公式展開后再利用二倍角公式整理，將tanα的值代入和得到最后答案．

解答：解：由已知得：（3sinα+2cosα）（2sinα-cosα）=0?3sinα+2cosα=0或2sinα-cosα=0
由已知條件可知cosα≠0，所以α≠

π

2

，即α∈(

π

2

，π)．于是tanα＜0，∴tanα=-

2

3

．
sin(2α+

π

3

)=sin2αcos

π

3

+cos2αsin

π

3

=sinαcosα+

3

2

(cos2α-sin2α)
=

sinαcosα

cos2α+sin2α

+

3

2

×

cos2α-sin2α

cos2α+sin2α

=

tanα

1+tan2α

+

3

2

×

1-tan2α

1+tan2α

.
將tanα=-

2

3

代入上式得
sin(2α+

π

3

)=-

(- 2 3 )

1+(- 2 3 )2

+

3

2

×

1-(- 2 3 )2

1+(- 2 3 )2

=-

6

13

+

5

26

3

．即為所求．

點評：本小題考三角函數(shù)的基本公式以及三角函數(shù)式的恒等變形等基礎(chǔ)知識和基本運算技能．