Question

已知：如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AE=

1

3

AC，BD=

1

3

AB，點(diǎn)F在BC上，且CF=

1

3

BC．求證：
（1）EF⊥BC；
（2）∠ADE=∠EBC．

Answer 1

分析：（1）設(shè)AB=3，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，以AC所在的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，從而可得到E，F(xiàn)，B，C的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積即可證得EF⊥BC；
（2）利用

DE

•

DA

與

BE

•

BC

數(shù)量積中的夾角的余弦即可證得∠ADE=∠EBC．

解答：解：（1）設(shè)AB=3，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，以AC所在的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，
則E（0，1），F(xiàn)（1，2），B（3，0），C（0，3），
∴

EF

=（1，1），

BC

=（-3，3）
∵

EF

•

BC

=-3+3=0，
∴EF⊥BC；
（2）∵D（2，0），A（0，0），
∴

DE

=（-2，1），

DA

=（-2，0），
∴|

DE

|=

5

，|

DA

|=2，又

DE

•

DA

=4，
∴cos＜

DE

，

DA

＞=

DE • DA

| DE || DA |

=

4

2 5

=

2 5

5

，
同理可求cos＜

BE

，

BC

＞=

2 5

5

，
∴＜

DE

，

DA

＞=＜

BE

，

BC

＞，
∴∠ADE=∠EBC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，考查建立坐標(biāo)系利用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系，屬于中檔題．