Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=2，f′（x）＜1，則不等式f（x²）＜x²+1的解集為

{x|x＜-1，或x＞1}

．

Answer 1

分析：依題意，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-x，可求得g′（x）＜0，且g（1）=1，f（x²）＜x²+1?g（x²）＜1=g（1），從而可求得答案．

解答：解：令g（x）=f（x）-x，
因?yàn)閒′（x）＜1，
所以f′（x）-1＜0，即g′（x）＜0，
所以函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞減，且g（1）=f（1）-1=1．
由f（x²）＜x²+1，即f（x²）-x²＜1，
即g（x²）＜1．
則g（x²）＜g（1），
所以x²＞1，得x＜-1，或x＞1．
∴不等式f（x²）＜x²+1的解集為{x|x＜-1，或x＞1}．
故答案為：{x|x＜-1，或x＞1}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-x，并判斷函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞減是關(guān)鍵，屬于中檔題．