Question

（本小題滿(mǎn)分14分）
設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是橢圓上的一點(diǎn)，，原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為．
（Ⅰ）證明；
（Ⅱ）設(shè)為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，過(guò)原點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，求點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）點(diǎn)的軌跡方程為

（Ⅰ）證法一：由題設(shè)及，，不妨設(shè)點(diǎn)，其中．由于點(diǎn)在橢圓上，有，即．
解得，從而得到．
直線(xiàn)的方程為，整理得．
由題設(shè)，原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，即，
將代入上式并化簡(jiǎn)得，即．
證法二：同證法一，得到點(diǎn)的坐標(biāo)為．
過(guò)點(diǎn)作，垂足為，易知，故．
由橢圓定義得，又，
所以，
解得，而，得，即．
（Ⅱ）解法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．
當(dāng)時(shí)，由知，直線(xiàn)的斜率為，所以直線(xiàn)的方程為，或，其中，．
點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組
將①式代入②式，得，
整理得，
于是，．
由①式得
．
由知．將③式和④式代入得，
．
將代入上式，整理得．
當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組
所以，．
由知，即，
解得．
這時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)仍滿(mǎn)足．
綜上，點(diǎn)的軌跡方程為　．
解法二：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線(xiàn)的方程為，由，垂足為，可知直線(xiàn)的方程為．
記（顯然），點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組
由①式得．　　　　　�、�
由②式得．　　　④
將③式代入④式得．
整理得，
于是．　　　⑤
由①式得．　　�、�
由②式得．　�、�
將⑥式代入⑦式得，
整理得，
于是．　　�、�
由知．將⑤式和⑧式代入得，
．
將代入上式，得．
所以，點(diǎn)的軌跡方程為．