Question

【題目】某工廠每日生產(chǎn)某種產(chǎn)品噸，當(dāng)日生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)日銷售完畢，當(dāng)時(shí)，每日的銷售額（單位：萬元）與當(dāng)日的產(chǎn)量滿足，當(dāng)日產(chǎn)量超過20噸時(shí)，銷售額只能保持日產(chǎn)量20噸時(shí)的狀況.已知日產(chǎn)量為2噸時(shí)銷售額為4.5萬元，日產(chǎn)量為4噸時(shí)銷售額為8萬元.

（1）把每日銷售額表示為日產(chǎn)量的函數(shù)；

（2）若每日的生產(chǎn)成本（單位：萬元），當(dāng)日產(chǎn)量為多少噸時(shí)，每日的利潤可以達(dá)到最大？并求出最大值.

（注：計(jì)算時(shí)取，）

Answer 1

【答案】(1) (2) 當(dāng)日產(chǎn)量為10噸時(shí)，每日的利潤可達(dá)到最大，最大利潤為6.5萬元.

【解析】

(1)將和代入,解得,即可得到答案;

(2)先寫出分段函數(shù)的解析式,再分段求最大值即可得到答案.

解：（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.①

當(dāng)時(shí)，，所以.②

由①②解得,

所以當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，.

所以

（2）設(shè)當(dāng)日產(chǎn)量為噸時(shí)，每日的利潤為，

則

①若，則.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

故是函數(shù)在內(nèi)唯一的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，

所以.

②若，則，顯然單調(diào)遞減，故.

結(jié)合①②可知，當(dāng)日產(chǎn)量為10噸時(shí)，每日的利潤可達(dá)到最大，最大利潤為6.5萬元.