【題目】已知函數(shù)(其中是常數(shù),且),曲線在處的切線方程為.
(1)求的值;
(2)若存在(其中是自然對(duì)數(shù)的底),使得成立,求的取值范圍;
(3)設(shè),若對(duì)任意,均存在,使得方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1).(2).(3)
【解析】
(1)求出在處的導(dǎo)數(shù),利用斜率和函數(shù)值建立等式關(guān)系,則可求出的值. (2)由條件可知,原題等價(jià)于在上有解,設(shè),即,求導(dǎo)求函數(shù)的最值,從而求出的取值范圍. (3)通過(guò)求導(dǎo)分析的單調(diào)性和最值,分類(lèi)討論求出的取值范圍.
(1),由題知,且,
解得;
(2)由(1)知,因?yàn)榇嬖?/span>,使得,
即,設(shè),則需,
,設(shè),則在上恒成立,
即單調(diào)遞增,又因?yàn)?/span>,所以在上恒成立,
即單調(diào)遞增,所以,
令,解得;
(3),,
①當(dāng)時(shí),對(duì)任意,易知方程均僅有唯一解,
且當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,
故方程最多有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,所以不符合題意;
② 當(dāng)時(shí),若,則恒成立,單調(diào)遞增,
方程最多只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,不符題意,
所以對(duì)任意,應(yīng)有,即,
此時(shí),易知方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,
因?yàn)?/span>,不妨取,則有,列表如下:
極大值 | 極小值 |
由表可知,的極大值為,
因?yàn)?/span>,所以,
又因?yàn)?/span>,且,所以,
因?yàn)?/span>,所以必然存在,
使得方程在區(qū)間上均有一個(gè)實(shí)數(shù)解,符合題意;
綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《烏鴉喝水》是《伊索寓言》中一個(gè)寓言故事,通過(guò)講述已知烏鴉喝水的故事,告訴人們遇到困難要運(yùn)用智慧,認(rèn)真思考才能讓問(wèn)題迎刃而解的道理,如圖所示,烏鴉想喝水,發(fā)現(xiàn)有一個(gè)錐形瓶,上面部分是圓柱體,下面部分是圓臺(tái),瓶口直徑為厘米,瓶底直徑為厘米,瓶口距瓶頸為厘米,瓶頸到水位線距離和水位線到瓶底距離均為厘米,現(xiàn)將顆石子投入瓶中,發(fā)現(xiàn)水位線上移厘米,若只有當(dāng)水位線到達(dá)瓶口時(shí)烏鴉才能喝到水,則烏鴉共需要投入的石子數(shù)量至少是( )
A.顆B.顆C.顆D.顆
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若對(duì)任意的,都有恒成立,求的最小值;
(2)設(shè),若為曲線上的兩個(gè)不同的點(diǎn),滿(mǎn)足,且,使得曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市一中學(xué)高三年級(jí)統(tǒng)計(jì)學(xué)生的最近20次數(shù)學(xué)周測(cè)成績(jī)(滿(mǎn)分150分),現(xiàn)有甲乙兩位同學(xué)的20次成績(jī)?nèi)缜o葉圖所示:
(1)根據(jù)莖葉圖求甲乙兩位同學(xué)成績(jī)的中位數(shù),并據(jù)此判斷甲乙兩位同學(xué)的成績(jī)誰(shuí)更好?
(2)將同學(xué)乙的成績(jī)的頻率分布直方圖補(bǔ)充完整;
(3)現(xiàn)從甲乙兩位同學(xué)的不低于140分的成績(jī)中任意選出2個(gè)成績(jī),設(shè)選出的2個(gè)成績(jī)中含甲的成績(jī)的個(gè)數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在橢圓上任取一點(diǎn)(不為長(zhǎng)軸端點(diǎn)),連結(jié)、,并延長(zhǎng)與橢圓分別交于點(diǎn)、兩點(diǎn),已知的周長(zhǎng)為8,面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為,當(dāng)不是橢圓的頂點(diǎn)時(shí),直線和直線的斜率之積是否為定值?若是定值,請(qǐng)求出這個(gè)定值;若不是定值,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:的右頂點(diǎn)為,離心率為,點(diǎn)在橢圓上,點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn),且和軸相切的圓的方程;
(3)若,是橢圓上異于,的兩個(gè)點(diǎn),且,點(diǎn)在直線的上方,試判斷的平分線是否經(jīng)過(guò)軸上的一個(gè)定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2020年春,新型冠狀病毒在我國(guó)湖北武漢爆發(fā)并訊速蔓延,病毒傳染性強(qiáng)并嚴(yán)重危害人民生命安全,國(guó)家衛(wèi)健委果斷要求全體人民自我居家隔離,為支援湖北武漢新型冠狀病毒疫情防控工作,各地醫(yī)護(hù)人員紛紛逆行,才使得病毒蔓延得到了有效控制.某社區(qū)為保障居民的生活不受影響,由社區(qū)志愿者為其配送蔬菜、大米等生活用品,記者隨機(jī)抽查了男、女居民各100名對(duì)志愿者所買(mǎi)生活用品滿(mǎn)意度的評(píng)價(jià),得到下面的2×2列聯(lián)表.
特別滿(mǎn)意 | 基本滿(mǎn)意 | |
男 | 80 | 20 |
女 | 95 | 5 |
(1)被調(diào)查的男性居民中有5個(gè)年輕人,其中有2名對(duì)志愿者所買(mǎi)生活用品特別滿(mǎn)意,現(xiàn)在這5名年輕人中隨機(jī)抽取3人,求至多有1人特別滿(mǎn)意的概率.
(2)能否有99%的把握認(rèn)為男、女居民對(duì)志愿者所買(mǎi)生活用品的評(píng)價(jià)有差異?
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】嫦娥四號(hào)月球探測(cè)器于2018年12月8日搭載長(zhǎng)征三號(hào)乙運(yùn)載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射.12日下午4點(diǎn)43分左右,嫦娥四號(hào)順利進(jìn)入了以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓形軌道,如圖中③所示,其近月點(diǎn)與月球表面距離為100公里,遠(yuǎn)月點(diǎn)與月球表面距離為400公里,已知月球的直徑約為3476公里,對(duì)該橢圓有下述四個(gè)結(jié)論:
(1)焦距長(zhǎng)約為300公里;
(2)長(zhǎng)軸長(zhǎng)約為3988公里;
(3)兩焦點(diǎn)坐標(biāo)約為;
(4)離心率約為.
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線,,則下面結(jié)論正確的是( )
A.把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線
B.把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線
C.把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線
D.把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線
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