如圖,在三棱錐P-ABC中,底面△ABC為等邊三角形,∠APC=90°,AC=2PA=4,且平面PAC⊥平面ABC.
(1)求三棱錐P-ABC的體積;
(2)求二面角B-AP-C的余弦值;
(3)判斷在線段AC上是否存在點Q,使得△PQB為直角三角形?若存在,找出所有符合要求的點Q,并求
AQ
QC
的值;若不存在,說明理由.
(1)如圖,過P作PO⊥AC,∵平面PAC⊥平面ABC,∴PO⊥平面ABC.
在△APC中,∠APC=90°,AC=2PA=4,∴∠PAC=60°,∴PO=APsin60°=
3
,AO=1.
∴三棱錐P-ABC的體積V=
1
3
PO×S△ABC
=
1
3
×
3
×
3
4
×42
=4.
(2)取AC,AB的中點分別為M,N,連接BM,ON.
在等邊△ABC中,∵O、N分別為AM、AB的中點,∴ONBM,∴ON⊥AC.
由(1)可知:PO⊥平面ABC,∴PO⊥ON,PO⊥OC,因此可以建立如圖所示的空間直角坐標系.
A(0,-1,0),B(2
3
,1,0),C(0,3,0),P(0,0,
3
).
AB
=(2
3
,2,0)
AP
=(0,1,
3
)

n
=(x,y,z)為平面PAB的一個法向量,則
n
AB
=0
,
n
AP
=0

2
3
x+2y=0
y+
3
z=0
,令y=-
3
,則x=1,z=1.∴
n
=(1,-
3
,1)

∵x軸⊥平面APC,∴可以取
m
=(1,0,0)
作為平面APC的法向量.
設二面角B-AP-C的大小為θ,由圖可知θ∈(0,
π
2
)

∴cosθ=
|
m
n
|
|
m
||
n
|
=
1
1+(-
3
)2+1
=
5
5

∴二面角B-AP-C的余弦值為
5
5

(3)在線段AC上存在點Q,使得△PQB為直角三角形.
設Q(0,m,0)(-1≤m≤3).
PQ
=(0,m,-
3
)
,
BQ
=(-2
3
,m-1,0)
,
PB
=(2
3
,1,-
3
)

①當∠PQB=90°時,則
PQ
BQ
=0
,得m(m-1)=0,解得m=0或1.
當m=0時,Q與O重合,△PQB為直角三角形,且
AQ
QB
=
1
3
;
當m=1時,Q與M重合,△PQB為直角三角形,且
AQ
QB
=1
;
②當∠PBQ=90°時,則
PB
BQ
=0
,得-12+m-1=0,解得m=13,不符合題意,應舍去;
③當∠BPQ=90°時,則
PB
PQ
=0
,得m+3=0=0,解得m=-3,不符合題意,應舍去.
綜上可知:在線段AC上存在點Q,使得△PQB為直角三角形,且
AQ
QB
=
1
3
AQ
QB
=1
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3
3
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A.
15
4
a
B.
6
3
a
C.
13
4
a
D.
3
2
a

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3
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A.arccos
1
3
B.arccos
3
3
C.
π
2
D.
3

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3
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