【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,過原點(diǎn)且斜率為1的直線交橢圓兩點(diǎn),四邊形的周長與面積分別為8與 .

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)設(shè)直線交橢圓兩點(diǎn),且,求證:到直線的距離為定值.

【答案】(Ⅰ).(Ⅱ) 見解析.

【解析】試題分析:(Ⅰ)利用四邊形的周長和橢圓的定義得到,再利用四邊形的面積公式和點(diǎn)在橢圓上求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)設(shè)出直線方程,聯(lián)立直線和橢圓的方程,得到關(guān)于的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系、平面向量的數(shù)量積為0進(jìn)行求解.

試題解析:(Ⅰ)不妨設(shè)點(diǎn)是第一象限的點(diǎn),依題可得.

.

.

∵點(diǎn)在橢圓上,,解得舍),

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(Ⅱ)當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為,

消去,

設(shè),

,

,即,

到直線的距離為.

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),設(shè)直線的方程為.

由橢圓的對(duì)稱性易知到直線的距離為.

到直線的距離為定值.

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(1) 求曲線C1,C2的直角坐標(biāo)方程

(2) 設(shè)當(dāng) α時(shí),lC1,C2的交點(diǎn)分別為A1,B1,當(dāng) α=-時(shí),lC1C2的交點(diǎn)分別為A2,B2,求四邊形A1A2B2B1的面積.

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(1)將表示成的函數(shù),并寫出的范圍;

(2)請(qǐng)確定工作坑的位置,使此處地下天燃?xì)夤芫的總長度最小,并求出總長度的最小值.

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若點(diǎn)M是線段BF的中點(diǎn),證明:平面AMC;

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(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和所給統(tǒng)計(jì)量,求y關(guān)于x的線性回歸方程(參考統(tǒng)計(jì)量:);

(2)試估計(jì):①該縣第一年養(yǎng)殖山羊多少萬只?

②到第幾年,該縣山羊養(yǎng)殖的數(shù)量與第一年相比縮小了?

附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

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