【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），現(xiàn)以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）在曲線上是否存在一點(diǎn)，使點(diǎn)到直線的距離最小？若存在，求出距離的最小值及點(diǎn)的直角坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）， ；（2）， .

【解析】試題分析：（1）把曲線的參數(shù)方程分類參數(shù)，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去參數(shù)得到其普通方程，根據(jù)把直線的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，由點(diǎn)到直線的距離公式得到距離關(guān)于參數(shù)的的函數(shù)關(guān)系，通過三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)得到最小值和相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).

試題解析：（1）由題意知曲線的參數(shù)方程可化簡為，

．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

由直線的極坐標(biāo)方程可得直角坐標(biāo)方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則可設(shè)，

設(shè)其到直線的距離為，則．．．．．．．．．．．．．．7分

化簡得，當(dāng)，即時(shí)， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為……………………10分

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知， .

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為5，求的值；

（2）若函數(shù)的最小值為，求的值；

（3）當(dāng)時(shí)， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在某次水下科研考察活動(dòng)中，需要潛水員潛入水深為60米的水底進(jìn)行作業(yè)，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，潛水員下潛的平均速度為（米/單位時(shí)間），每單位時(shí)間的用氧量為（升），在水底作業(yè)10個(gè)單位時(shí)間，每單位時(shí)間用氧量為0.9（升），返回水面的平均速度為（米/單位時(shí)間），每單位時(shí)間用氧量為1.5（升），記該潛水員在此次考察活動(dòng)中的總用氧量為（升）.

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若 ，求當(dāng)下潛速度取什么值時(shí)，總用氧量最少.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)用支出（萬元）與銷售額（萬元）之間有如下的對應(yīng)數(shù)據(jù)：

2

4

5

6

8

30

40

60

50

70

（1）求回歸直線方程；

（2）據(jù)此估計(jì)廣告費(fèi)用為12萬元時(shí)的銷售額約為多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某商店為了吸引顧客，設(shè)計(jì)了一個(gè)摸球小游戲，顧客從裝有1個(gè)紅球，1個(gè)白球，3個(gè)黑球的袋中一次隨機(jī)的摸2個(gè)球，設(shè)計(jì)獎(jiǎng)勵(lì)方式如下表：

結(jié)果

獎(jiǎng)勵(lì)

1紅1白

10元

1紅1黑

5元

2黑

2元

1白1黑

不獲獎(jiǎng)

（1）某顧客在一次摸球中獲得獎(jiǎng)勵(lì)X元，求X的概率分布表與數(shù)學(xué)期望；

（2）某顧客參與兩次摸球，求他能中獎(jiǎng)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)，右焦點(diǎn)為F(c，0)(c>0)，方程ax2＋bx－c＝0的兩實(shí)根分別為x1，x2，則P(x1，x2)( )

A．必在圓x2＋y2＝2內(nèi)

B．必在圓x2＋y2＝2外

C．必在圓x2＋y2＝1外

D．必在圓x2＋y2＝1與圓x2＋y2＝2形成的圓環(huán)之間

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品，每件銷售收入分別為3000元，2000元．甲、乙產(chǎn)品都需要在A、B兩種設(shè)備上加工，在每臺(tái)A、B設(shè)備上加工一件甲所需工時(shí)分別為1，2，加工一件乙設(shè)備所需工時(shí)分別為2，1．A、B兩種設(shè)備每月有效使用臺(tái)時(shí)數(shù)分別為400和500，分別用表示計(jì)劃每月生產(chǎn)甲，乙產(chǎn)品的件數(shù)．

（Ⅰ）用列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；

（Ⅱ）問分別生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少件，可使收入最大？并求出最大收入．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四邊形中， ， ， 為的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，已知.

（1）求證： ；

（2）若，求的長度；

（3）求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：(x－1)2＋y2＝1.直線l經(jīng)過點(diǎn)P(m，0)，且傾斜角為，以O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．

(1)寫出曲線C的極坐標(biāo)方程與直線l的參數(shù)方程；

(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且|PA|·|PB|＝1，求實(shí)數(shù)m的值．

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