【題目】已知橢圓C: (a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(,1),以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸長為半徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)(-1,0)的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),試問在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M,使得恒為定值?若存在,求出該定值及點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)-.
【解析】試題分析:(Ⅰ) 由以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸長為半徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)可知,將點(diǎn) 代入橢圓方程,即可求得和的值,從而求得橢圓方程;(Ⅱ) 分類討論,當(dāng)斜率存在時(shí),將直線方程代入橢圓方程,由韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,及恒為定值即可求得的值,從而求得的值及點(diǎn)坐標(biāo);當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),點(diǎn),則時(shí),求得的值及點(diǎn)坐標(biāo).
試題解析:(Ⅰ)由題意可得圓的方程為x2+y2=b2.因?yàn)樵搱A經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn),所以半焦距c=b,所以a2=2b2.將點(diǎn)(,1)代入橢圓方程可得b2=2,a2=4,
所以橢圓C的方程為.
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,0).
當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x+1).
聯(lián)立得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-4=0,
則x1+x2=,x1x2=,
又y1y2=k2(x1+1)(x2+1)=k2(x1x2+x1+x2+1)=k2=,
而=(x1-m)(x2-m)+y1y2=+
=
=為定值,
只需,解得m=-,從而=-,
當(dāng)直線l的斜率k不存在時(shí),點(diǎn)A(-1, ),B(-1,-),
此時(shí),當(dāng)m=-時(shí), =(-1-m)(-1-m)-=-.
綜上,存在點(diǎn)M(-,0),使得=-.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系和平面向量數(shù)量積公式,屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟;①作判斷:根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上,還是在軸上,還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能;②設(shè)方程:根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ;③找關(guān)系:根據(jù)已知條件,建立關(guān)于、、的方程組;④得方程:解方程組,將解代入所設(shè)方程,即為所求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面α與棱AB,AC,A1C1,A1B1分別交于點(diǎn)E,F(xiàn),G,H,且直線AA1∥平面α.有下列三個(gè)命題:①四邊形EFGH是平行四邊形;②平面α∥平面BCC1B1;③平面α⊥平面BCFE.其中正確的命題有( )
A. ①② B. ②③
C. ①③ D. ①②③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a10=4a3,a4=3a1+7.
(1)求通項(xiàng)公式an;
(2)若bn=an-2an+2,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
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【題目】為了減少霧霾,還城市一片藍(lán)天,某市政府于12月4日到12月31日在主城區(qū)實(shí)行車輛限號出行政策,鼓勵(lì)民眾不開車低碳出行,某甲乙兩個(gè)單位各有200名員工,為了了解員工低碳出行的情況,統(tǒng)計(jì)了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人數(shù),畫出莖葉圖如下:
(1)若甲單位數(shù)據(jù)的平均數(shù)是122,求;
(2)現(xiàn)從如圖的數(shù)據(jù)中任取4天的數(shù)據(jù)(甲、乙兩單位中各取2天),記其中甲、乙兩單位員工低碳出行人數(shù)不低于130人的天數(shù)為, ,令,求的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= (a∈R).
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=1的圖象在區(qū)間(0,e2]上有兩個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2017·黃岡質(zhì)檢)如圖,在棱長均為2的正四棱錐P-ABCD中,點(diǎn)E為PC的中點(diǎn),則下列命題正確的是( )
A. BE∥平面PAD,且BE到平面PAD的距離為
B. BE∥平面PAD,且BE到平面PAD的距離為
C. BE與平面PAD不平行,且BE與平面PAD所成的角大于30°
D. BE與平面PAD不平行,且BE與平面PAD所成的角小于30°
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為 .以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與曲線交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),求的值.
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【題目】某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元,每生產(chǎn)x千件,需另投入成本為C(x)萬元,當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí),C(x)=x2+10x(萬元);當(dāng)年產(chǎn)量不少于80千件時(shí),C(x)=51x+-1 450(萬元).通過市場分析,若每件售價(jià)為500元時(shí),該廠年內(nèi)生產(chǎn)的商品能全部銷售完.
(1)寫出年利潤L(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式;
(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大?
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