【題目】如圖,直三棱柱ABCA1B1C1中(側(cè)棱與底面垂直的棱柱),AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=,D 是A1B1的中點(diǎn).
(1)求證:C1D⊥平面AA1B1B;
(2)當(dāng)點(diǎn)F 在BB1上的什么位置時(shí),AB1⊥平面C1DF ?并證明你的結(jié)論.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析
【解析】
(1)由是直三棱柱,D是A1B1的中點(diǎn)和題設(shè)條件,得C1D⊥A1B1和AA1⊥C1D,利用線面垂直的判定定理,即可證明;
(2)作交AB1于點(diǎn)E,延長(zhǎng)DE交BB1于點(diǎn)F,連接C1F,則AB1⊥平面C1DF,點(diǎn)F即所求.
(1)∵是直三棱柱,
∴A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°.
又D是A1B1的中點(diǎn),
∴C1D⊥A1B1.
∵AA1⊥平面A1B1C1,C1D 平面A1B1C1,
∴AA1⊥C1D,
∴C1D⊥平面.
(2)作交AB1于點(diǎn)E,延長(zhǎng)DE交BB1于點(diǎn)F,連接C1F,則AB1⊥平面C1DF,點(diǎn)F即所求.
事實(shí)上,∵C1D⊥平面AA1B1B,AB1平面AA1B1B,
∴C1D⊥AB1.
又AB1⊥DF,,
∴AB1⊥平面C1DF.
∵AA1=A1B1=,
∴四邊形AA1B1B為正方形.
又D為A1B1的中點(diǎn),DF⊥AB1,
∴F為BB1的中點(diǎn),
∴當(dāng)點(diǎn)F為BB1的中點(diǎn)時(shí),AB1⊥平面C1DF.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開(kāi),會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì).弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖)如果小正方形的邊長(zhǎng)為1,大正方形的邊長(zhǎng)為5,直角三角形中較小的銳角為,則 ( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)解關(guān)于x的不等式;
(2)對(duì)任意的(﹣1,2),恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)、、、 為平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的點(diǎn)。若,,且,則稱(chēng)點(diǎn)、調(diào)和分割點(diǎn)、。已知平面上點(diǎn)、調(diào)和分割點(diǎn) 、.則下面說(shuō)法正確的是()。
A. 可能是線段的中點(diǎn)
B. 可能是線段 的中點(diǎn)
C. 點(diǎn)、 可能同時(shí)在線段上
D. 點(diǎn) 、不可能同時(shí)在線段的延長(zhǎng)線上
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一個(gè)盒子中,放有標(biāo)號(hào)分別為1,2,3的三張卡片,現(xiàn)從這個(gè)盒子中,有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為x、y,設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P的坐標(biāo)為記.
(1)求隨機(jī)變量的最大值,并求事件“取得最大值”的概率;
(2)求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若一條直線與一個(gè)平面垂直,則稱(chēng)此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.那么在一個(gè)正方體中,由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是( )
A. 48 B. 36 C. 24 D. 18
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是曲線上動(dòng)點(diǎn)以及定點(diǎn),
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)求面積的最小值,并求出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在海上進(jìn)行工程建設(shè)時(shí),一般需要在工地某處設(shè)置警戒水域;現(xiàn)有一海上作業(yè)工地記為點(diǎn),在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi),以點(diǎn)為中心的1海里以?xún)?nèi)海域被設(shè)為警戒水域,點(diǎn)正北海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站,某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)北偏東且與點(diǎn)相距10海里的位置,經(jīng)過(guò)12分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)北偏東且與點(diǎn)相距海里的位置.
(1)求該船的行駛速度(單位:海里/小時(shí));
(2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.試判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域(點(diǎn)與船的距離小于1海里即為進(jìn)入警戒水域),并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】求1,2,···,n的排列的個(gè)數(shù),使得對(duì)正整數(shù)k=1,2,···,n成立。
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