【題目】已知公差不為零的等差數(shù)列中,,且,,成等比數(shù)列,
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列滿足,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若不等式對一切恒成立,求的取值范圍.
(3)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求證:對任意正整數(shù)n,都有成立.
【答案】(1);(2);(3)看解析.
【解析】
(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,由已知,求出,即可得數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)由(1)可得,,利用錯位相減法即可得出,代入不等式對一切恒成立,對分類討論即可得出的取值范圍;
(3)當(dāng)時,結(jié)論顯然成立;當(dāng)時,,化簡證明即可.
(1)已知等差數(shù)列中,,設(shè)公差為,由已知,
則,所以,
得的通項(xiàng)公式為:
即:.
(2)由(1)可得,,
則
兩式相減得:
解得:.
所以不等式化為對一切恒成立,
若為偶數(shù),則,即;
若為奇數(shù),則,即;
綜上可得:.
(3)證明:當(dāng)時,結(jié)論顯然成立;
當(dāng)時,由(2)知,
.
所以,對任意正整數(shù)n,都有成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:1(a>b>0)的離心率e,且點(diǎn)P(,1)在橢圓C上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若橢圓C的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)M(s,t)(t>0)是橢圓C上的動點(diǎn),直線AM與y軸交于點(diǎn)D,點(diǎn)E是y軸上一點(diǎn),EF⊥DF,EA與橢圓C交于點(diǎn)G,若△AMG的面積為2,求直線AM的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】奇函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)數(shù),當(dāng)x<0時,f(x),則使得(x2﹣1)f(x)<0成立的x的取值范圍為( )
A.(﹣1,0)∪(0,1)B.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)
C.(﹣1,0)∪(1,+∞)D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年6月25日,《固體廢物污染環(huán)境防治法(修訂草案)》初次提請全國人大常委會審議,草案對“生活垃圾污染環(huán)境的防治”進(jìn)行了專章規(guī)定.草案提出,國家推行生活垃圾分類制度.為了了解人民群眾對垃圾分類的認(rèn)識,某市環(huán)保部門對該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類網(wǎng)絡(luò)知識問卷調(diào)查,每一位市民僅有一次參加機(jī)會,通過隨機(jī)抽樣,得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分(滿分:100分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示:
得分 | |||||||
頻數(shù) | 25 | 150 | 200 | 250 | 225 | 100 | 50 |
(1)由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為,此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布,近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表),請利用正態(tài)分布的知識求;
(2)在(1)的條件下,市環(huán)保部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案:
①得分不低于 “的可以獲贈2次隨機(jī)話費(fèi),得分低于的可以獲贈1次隨機(jī)話費(fèi);
②每次獲贈的隨機(jī)話費(fèi)和對應(yīng)的概率為:
獲贈的隨機(jī)話費(fèi)(單位:元) | 20 | 40 |
概率 |
現(xiàn)市民小王要參加此次問卷調(diào)查,記(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費(fèi),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附:①;②若,則,,,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,ABCD為矩形,是以為直角的等腰直角三角形,平面平面ABCD.
(1)證明:平面平面PBC;
(2)為直線PC的中點(diǎn),且,求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程;
(2)已知直線與曲線交于,滿足為的中點(diǎn),求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年12月以來,湖北武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例,并迅速在全國范圍內(nèi)開始傳播,專家組認(rèn)為,本次病毒性肺炎病例的病原體初步判定為新型冠狀病毒,該病毒存在人與人之間的傳染,可以通過與患者的密切接觸進(jìn)行傳染.我們把與患者有過密切接觸的人群稱為密切接觸者,每位密切接觸者被感染后即被稱為患者.已知每位密切接觸者在接觸一個患者后被感染的概率為,某位患者在隔離之前,每天有位密切接觸者,其中被感染的人數(shù)為,假設(shè)每位密切接觸者不再接觸其他患者.
(1)求一天內(nèi)被感染人數(shù)為的概率與、的關(guān)系式和的數(shù)學(xué)期望;
(2)該病毒在進(jìn)入人體后有14天的潛伏期,在這14天的潛伏期內(nèi)患者無任何癥狀,為病毒傳播的最佳時間,設(shè)每位患者在被感染后的第二天又有位密切接觸者,從某一名患者被感染,按第1天算起,第天新增患者的數(shù)學(xué)期望記為.
(i)求數(shù)列的通項(xiàng)公式,并證明數(shù)列為等比數(shù)列;
(ii)若戴口罩能降低每位密切接觸者患病概率,降低后的患病概率,當(dāng)取最大值時,計(jì)算此時所對應(yīng)的值和此時對應(yīng)的值,根據(jù)計(jì)算結(jié)果說明戴口罩的必要性.(取)
(結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的生產(chǎn)所需的資金,需了解每投入2千萬資金后,工人人數(shù)(單位:百人)對年產(chǎn)能(單位:千萬元)的影響,對投入的人力和年產(chǎn)能的數(shù)據(jù)作了初步處理,得到散點(diǎn)圖和統(tǒng)計(jì)量表.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷:與哪一個適宜作為年產(chǎn)能關(guān)于投入的人力的回歸方程類型?并說明理由?
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及相關(guān)的計(jì)算數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程;
(3)現(xiàn)該企業(yè)共有2000名生產(chǎn)工人,資金非常充足,為了使得年產(chǎn)能達(dá)到最大值,則下一年度共需投入多少資金(單位:千萬元)?
附注:對于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,(說明:的導(dǎo)函數(shù)為)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】大約在20世紀(jì)30年代,世界上許多國家都流傳著這樣一個題目:任取一個正整數(shù),如果它是偶數(shù),則除以2;如果它是奇數(shù),則將它乘以3加1,這樣反復(fù)運(yùn)算,最后結(jié)果必然是1.這個題目在東方被稱為“角谷猜想”,世界一流的大數(shù)學(xué)家都被其卷入其中,用盡了各種方法,甚至動用了最先進(jìn)的電子計(jì)算機(jī),驗(yàn)算到對700億以內(nèi)的自然數(shù)上述結(jié)論均為正確的,但卻給不出一般性的證明.例如取,則要想算出結(jié)果1,共需要經(jīng)過的運(yùn)算步數(shù)是( )
A.9B.10C.11D.12
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