Question

【題目】已知且，函數(shù)，.

（1）指出的單調(diào)性（不要求證明）；

（2）若有求的值；

（3）若，求使不等式恒成立的的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）上的減函數(shù)；（2）；（3）.

【解析】

(1)對分類討論，然后說明函數(shù)的單調(diào)性；

(2)構(gòu)造新函數(shù)，說明的奇偶性，再根據(jù)已知條件即可計算出的值；

(3)根據(jù)的奇偶性，將不等式變形，再根據(jù)的單調(diào)性即可將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞块g的大小關(guān)系，再利用二次函數(shù)的求解出結(jié)果.

（1）的定義域為，

當(dāng)時，，是減函數(shù)，所以是減函數(shù)，

當(dāng)時，，是增函數(shù)，所以是減函數(shù)，

綜上可知：是上的減函數(shù)；

（2）令，因為，所以是奇函數(shù)，

又因為即也是奇函數(shù)，所以是上的奇函數(shù)，

所以，所以，

所以；

（3），因為與均是上的減函數(shù)和奇函數(shù)，

所以也是上的減函數(shù)和奇函數(shù)，

又因為恒成立，所以恒成立，

所以恒成立，所以恒成立，所以，

所以.