【題目】已知函數(shù)，在原點(diǎn)處切線的斜率為，數(shù)列滿足為常數(shù)且，．

（1）求的解析式；

（2）計(jì)算，并由此猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

【答案】（1）；（2） ；（3）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）求出的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)在原點(diǎn)處切線的斜率為可得，可求得的值，從而可得的解析式；（2）由函數(shù)解析式，可得遞推關(guān)系，根據(jù)遞推關(guān)系可依次求出的值，觀察前四項(xiàng)共同規(guī)律可猜測(cè)出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）先驗(yàn)證 時(shí)猜想成立，再假設(shè) 時(shí)猜想成立，只需證明 時(shí)，猜想也成立即可.

試題解析：（1）由已知得，，.

（2），則，

，，

由此猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)為．

（3）①當(dāng)時(shí)，猜想顯然成立，

②假設(shè)時(shí)，猜想成立，即，

則當(dāng)時(shí)，，

即當(dāng)時(shí)，猜想成立．由①②知，對(duì)一切正整數(shù)都成立．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭，獲得第i個(gè)家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲(chǔ)蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得.

(1)求家庭的月儲(chǔ)蓄y對(duì)月收入x的線性回歸方程；

(2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；

(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄．

附：線性回歸方程中，

，其中為樣本平均值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)的值域?yàn)?/span>R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】環(huán)境污染已經(jīng)觸目驚心，環(huán)境質(zhì)量已經(jīng)成為“十三五”實(shí)現(xiàn)全面建成小康社會(huì)奮斗目標(biāo)的短板和瓶頸。綿陽(yáng)某化工廠每一天中污水污染指數(shù)與時(shí)刻（時(shí)）的函數(shù)關(guān)系為其中為污水治理調(diào)節(jié)參數(shù)，且

（1）若，求一天中哪個(gè)時(shí)刻污水污染指數(shù)最低；

（2）規(guī)定每天中的最大值作為當(dāng)天的污水污染指數(shù)，要使該廠每天的污水污染指數(shù)不超過，則調(diào)節(jié)參數(shù)應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（2-x），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)f（x）=x2，則函數(shù)g（x）=|sin（πx）|-f（x）在區(qū)間[-1，3]上的所有零點(diǎn)的和為（　　）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 10

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù),角的終邊經(jīng)過點(diǎn).若是的圖象上任意兩點(diǎn),且當(dāng)時(shí),的最小值為.

(1)求 或的值；

(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間；

(3)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，則稱函數(shù)f（x）有“漂移點(diǎn)”．

（1）用零點(diǎn)存在定理證明：函數(shù)f（x）=x2+2x在[0，1]上有“漂移點(diǎn)”；

（2）若函數(shù)g（x）=lg（）在（0，+∞）上有“漂移點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=．

（1）若f（2）=a，求a的值；

（2）當(dāng)a=2時(shí)，若對(duì)任意互不相等的實(shí)數(shù)x1，x2∈（m，m+4），都有＞0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（3）判斷函數(shù)g（x）=f（x）-x-2a（＜a＜0）在R上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M：x2+y2+ay=0（a＞0），直線l：x-7y-2=0，且直線l與圓M相交于不同的兩點(diǎn)A，B．

（1）若a=4，求弦AB的長(zhǎng)；

（2）設(shè)直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，若k1+k2=，求圓M的方程．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案