Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0，求a；

（Ⅱ）若在處取得極小值，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】分析：（1）求導(dǎo)，構(gòu)建等量關(guān)系，解方程可得參數(shù)的值；（2）對(duì)分及兩種情況進(jìn)行分類討論，通過研究的變化情況可得取得極值的可能，進(jìn)而可求參數(shù)的取值范圍.

詳解：

解：（Ⅰ）因?yàn)?/span>，

所以.

，

由題設(shè)知，即，解得.

（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.

若a>1，則當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

所以在x=1處取得極小值.

若，則當(dāng)時(shí)，，

所以.

所以1不是的極小值點(diǎn).

綜上可知，a的取值范圍是.

方法二：.

（1）當(dāng)a=0時(shí)，令得x=1.

隨x的變化情況如下表：

x		1
	+	0
	↗	極大值	↘

∴在x=1處取得極大值，不合題意.

（2）當(dāng)a>0時(shí)，令得.

①當(dāng)，即a=1時(shí)，，

∴在上單調(diào)遞增，

∴無極值，不合題意.

②當(dāng)/span>，即0<a<1時(shí)，隨x的變化情況如下表：

x		1
	+	0		0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴在x=1處取得極大值，不合題意.

③當(dāng)，即a>1時(shí)，隨x的變化情況如下表：

x
	+	0		0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴在x=1處取得極小值，即a>1滿足題意.

（3）當(dāng)a<0時(shí)，令得.

隨x的變化情況如下表：

x
		0	+	0
	↘	極小值	↗	極大值	↘

∴在x=1處取得極大值，不合題意.

綜上所述，a的取值范圍為.