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【題目】如圖，四棱錐中，，，，，側面為等邊三角形.

（1）證明：；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）根據矩形的性質與正三角形的性質可證，，得平面，進而；（2）分別以的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，求出平面的法向量 ，而知是平面的法向量，根據空間向量夾角余弦公式可得二面角的余弦，進而求得正弦值.

試題解析：（1）取的中點，連接，則四邊形為矩形，

∴，

∵為等邊三角形，

∴.

∵，

∴平面.

平面，.

（2）由（1）知，，過作平面，則兩兩垂直，分別以的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，

則，

∵，

∴，∴平面，

∴，，

設平面的法向量為.

∵，，

∴，

∴，取，則，

設二面角為，則，

∴二面角的正弦值.

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