【題目】已知函數(shù) 上單調(diào)遞增,
(1)若函數(shù) 有實數(shù)零點,求滿足條件的實數(shù) 的集合 ;
(2)若對于任意的 時,不等式 恒成立,求 的取值范圍.

【答案】
(1)解:函數(shù) 單調(diào)遞增區(qū)間是 ,因為 上單調(diào)遞增,所以
,則
函數(shù) 有實數(shù)零點,即: 上有零點,只需:
方法一 解得
方法二 解得
綜上: ,即
(2)解: 化簡得
因為對于任意的 時,不等式 恒成立,
即對于 不等式 恒成立,
設(shè)
法一
時,即 不符合題意
時,即 ,只需
從而
,即 ,只需
,與 矛盾
法二
綜上知滿足條件的 的范圍為
【解析】(1)首先根據(jù)二次函數(shù)對稱軸的位置關(guān)系結(jié)合函數(shù)的增減性得到a的取值范圍利用整體思想令 2x = t ( t > 0 )把原函數(shù)轉(zhuǎn)化為f ( t ) = t 2 2 a t + 1 t > 0在 ( 0 , + ∞ ) 上有零點即在 ( 0 , + ∞ ) 上有根,結(jié)合二次函數(shù)圖像的性質(zhì)限制Δ≥0,a>0,f(0)>0得到關(guān)于a的不等式組解出即可。(2)結(jié)合(1)的結(jié)果整理化簡不等式轉(zhuǎn)化為當 1 ≤ a ≤ 2 不等式 ( 2x+1 1 ) a + 2 2x 2 > 0 恒成立,由整體思想構(gòu)造函數(shù) g(x) 關(guān)于2x 的二次函數(shù)當 1 ≤ a ≤ 2恒成立的問題,結(jié)合二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問題解出x的取值范圍即可。
【考點精析】認真審題,首先需要了解復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法(復合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān),其規(guī)律:“同增異減”),還要掌握二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值(當時,當時,;當時在上遞減,當時,)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

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