【題目】已知函數(shù) 在 上單調(diào)遞增,
(1)若函數(shù) 有實數(shù)零點,求滿足條件的實數(shù) 的集合 ;
(2)若對于任意的 時,不等式 恒成立,求 的取值范圍.
【答案】
(1)解:函數(shù) 級 單調(diào)遞增區(qū)間是 ,因為 在 上單調(diào)遞增,所以 ;
令 ,則
函數(shù) 有實數(shù)零點,即: 在 上有零點,只需:
方法一 解得
方法二 解得
綜上: ,即
(2)解: 化簡得
因為對于任意的 時,不等式 恒成立,
即對于 不等式 恒成立,
設(shè) ( )
法一
當 時,即 不符合題意
當 時,即 ,只需
得 從而
當 ,即 ,只需
得 或 ,與 矛盾
法二 得
綜上知滿足條件的 的范圍為
【解析】(1)首先根據(jù)二次函數(shù)對稱軸的位置關(guān)系結(jié)合函數(shù)的增減性得到a的取值范圍利用整體思想令 2x = t ( t > 0 )把原函數(shù)轉(zhuǎn)化為f ( t ) = t 2 2 a t + 1 t > 0在 ( 0 , + ∞ ) 上有零點即在 ( 0 , + ∞ ) 上有根,結(jié)合二次函數(shù)圖像的性質(zhì)限制Δ≥0,a>0,f(0)>0得到關(guān)于a的不等式組解出即可。(2)結(jié)合(1)的結(jié)果整理化簡不等式轉(zhuǎn)化為當 1 ≤ a ≤ 2 不等式 ( 2x+1 1 ) a + 2 2x 2 > 0 恒成立,由整體思想構(gòu)造函數(shù) g(x) 關(guān)于2x 的二次函數(shù)當 1 ≤ a ≤ 2恒成立的問題,結(jié)合二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問題解出x的取值范圍即可。
【考點精析】認真審題,首先需要了解復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法(復合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān),其規(guī)律:“同增異減”),還要掌握二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值(當時,當時,;當時在上遞減,當時,)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】盒中有標號分別為0,1,2,3的球各一個,這些球除標號外均相同.從盒中依次摸取兩個球(每次一球,摸出后不放回),記為一次游戲.規(guī)定:摸出的兩個球上的標號之和等于5為一等獎,等于4為二等獎,等于其它為三等獎.
(1)求完成一次游戲獲三等獎的概率;
(2)記完成一次游戲獲獎的等級為ξ,求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點,設(shè)Q是CC1上的點,問:當點Q在什么位置時,平面D1BQ與平面PAO平行?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(I)求函數(shù) 的最小正周期及對稱軸方程;
(II)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1所示,在直角梯形 中, , , , , , .將 沿 折起,使得點 在平面 的正投影 恰好落在 邊上,得到幾何體 ,如圖2所示.
(1)求證: ;
(2)求點 到平面 的距離.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在一個不透明的箱子里裝有5個完全相同的小球,球上分別標有數(shù)字1、2、3、4、5.甲先從箱子中摸出一個小球,記下球上所標數(shù)字后,將該小球放回箱子中搖勻后,乙再從該箱子中摸出一個小球.
(1)若甲、乙兩人誰摸出的球上標的數(shù)字大誰就獲勝(數(shù)字相同為平局),求甲獲勝的概率;
(2)規(guī)定:兩人摸到的球上所標數(shù)字之和小于6,則甲獲勝,否則乙獲勝,這樣規(guī)定公平嗎?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知c>0,且c≠1,設(shè)p:函數(shù)y=cx在R上單調(diào)遞減;q:函數(shù)f(x)=x2﹣2cx+1在( ,+∞)上為增函數(shù),若“p且q”為假,“p或q”為真,求實數(shù)c的取值范圍.
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