【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)當(dāng)時,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若在區(qū)間上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(Ⅰ)求出,對分四種情況討論,分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間, 求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;(Ⅱ)令 ,原問題等價(jià)于在區(qū)間上恒成立,因?yàn)?/span>,要想在區(qū)間上恒成立,只需,可得當(dāng)時,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而求出,進(jìn)而可得結(jié)論.
試題解析:(Ⅰ) ,
①當(dāng),即時, 時, , 時, ,
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增;
②當(dāng),即時, 和時, , 時, ,
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間和上單調(diào)遞增;
③當(dāng),即時, 和時, , 時, ,
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間和上單調(diào)遞增;
④當(dāng),即時, ,所以在定義域上單調(diào)遞增;
綜上:①當(dāng)時, 在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間和上單調(diào)遞增;
②當(dāng)時, 在定義域上單調(diào)遞增;
③當(dāng)時, 在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間和上單調(diào)遞增;
④當(dāng)時, 在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.
(Ⅱ)令 ,
原問題等價(jià)于在區(qū)間上恒成立,可見,
要想在區(qū)間上恒成立,首先必須要,
而,
另一方面當(dāng)時, ,由于,可見,
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,故,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,
∴成立,故原不等式成立.
綜上,若在區(qū)間上恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是圓上的任意一點(diǎn),是過點(diǎn)且與軸垂直的直線,是直線與軸的交點(diǎn),點(diǎn)在直線上,且滿足當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時,記點(diǎn)的軌跡為曲線.
求曲線的方程;
已知直線與曲線交于兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,設(shè),證明:直線過定點(diǎn),并求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度,從A、B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個用戶,得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下:
A地區(qū): | 62 | 73 | 81 | 92 | 95 | 85 | 74 | 64 | 53 | 76 |
78 | 86 | 95 | 66 | 97 | 78 | 88 | 82 | 76 | 89 | |
B地區(qū): | 73 | 83 | 62 | 51 | 91 | 46 | 53 | 73 | 64 | 82 |
93 | 48 | 95 | 81 | 74 | 56 | 54 | 76 | 65 | 79 |
(Ⅰ)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖,并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度的平均值及分散程度(不要求算出具體值,給出結(jié)論即可):
(Ⅱ)根據(jù)用戶滿意度評分,將用戶的滿意度從低到高分為三個等級:
滿意度評分 | 低于70分 | 70分到89分 | 不低于90分 |
滿意度等級 | 不滿意 | 滿意 | 非常滿意 |
記事件C:“A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級”,假設(shè)兩地區(qū)用戶的評價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立,根據(jù)所給數(shù)據(jù),以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率,求C的概率。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某自動包裝機(jī)包袋的食鹽中,隨機(jī)抽取袋作為樣本,按各袋的質(zhì)量(單位: )分成四組, ,相應(yīng)的樣本頻率分布直方圖如圖所示.
(Ⅰ)估計(jì)樣本的中位數(shù)是多少?落入的頻數(shù)是多少?
(Ⅱ)現(xiàn)從這臺自動包裝機(jī)包袋的大批量食鹽中,隨機(jī)抽取袋,記表示食鹽質(zhì)量屬于的袋數(shù),依樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想,求的分布列及期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在上是增函數(shù),則的取值范圍是( 。
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
若函數(shù)f(x)=log2(x2﹣ax+3a)在[2,+∞)上是增函數(shù),則x2﹣ax+3a>0且f(2)>0,根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性,我們可得到關(guān)于a的不等式,解不等式即可得到a的取值范圍.
若函數(shù)f(x)=log2(x2﹣ax+3a)在[2,+∞)上是增函數(shù),
則當(dāng)x∈[2,+∞)時,
x2﹣ax+3a>0且函數(shù)f(x)=x2﹣ax+3a為增函數(shù)
即,f(2)=4+a>0
解得﹣4<a≤4
故選:C.
【點(diǎn)睛】
本題考查的知識點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,二次函數(shù)的性質(zhì),對數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,其中根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,構(gòu)造關(guān)于a的不等式,是解答本題的關(guān)鍵.
【題型】單選題
【結(jié)束】
10
【題目】圓錐的高和底面半徑之比,且圓錐的體積,則圓錐的表面積為( 。
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面四個命題:
①在定義域上單調(diào)遞增;
②若銳角,滿足,則;
③是定義在上的偶函數(shù),且在上是增函數(shù),若,則;
④函數(shù)的一個對稱中心是;
其中真命題的序號為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】恩格爾系數(shù)是食品支出總額占個人消費(fèi)支出總額的比重.恩格爾系數(shù)越小,即家庭的消費(fèi)支出中用于購買食物的支出所占比例越小,更多的消費(fèi)用于精神追求,標(biāo)志著家庭越富裕.恩格爾系數(shù)達(dá)59%以上為貧困,50~59%為溫飽,40~50%為小康,30~40%為富裕,低于30%為最富裕.下圖給出了1980—2017年我國城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民家庭恩格爾系數(shù)的變化統(tǒng)計(jì)圖,對所列年份進(jìn)行分析,則下列結(jié)論正確的是( )
A.農(nóng)村和城鎮(zhèn)居民家庭消費(fèi)支出呈下降趨勢
B.農(nóng)村居民家庭比城鎮(zhèn)居民家庭用于購買食品的支出更多
C.1995年我國農(nóng)村居民初步達(dá)到小康標(biāo)準(zhǔn)
D.2015年城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民食品支出占個人消費(fèi)支出總額之比大于30.6%
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圓O:x2+y2=8內(nèi)有一點(diǎn)P(﹣1,2),AB為過點(diǎn)P且傾斜角為α的弦,
(1)當(dāng)α=135°時,求AB的長;
(2)當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時,寫出直線AB的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,△PCD為等邊三角形,平面PAC⊥平面PCD,PA⊥CD,CD=2,AD=3.
(1)設(shè)G,H分別為PB,AC的中點(diǎn),求證:GH//平面PAD;
(2)求證:⊥平面PCD;
(3)求直線AD與平面PAC所成角的正弦值.
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