【題目】已知函數(shù),.
(1)證明:的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn);
(2)若對(duì)任意,均存在,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
注:復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).
【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2).
【解析】
(1)設(shè),則,.求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,然后轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的零點(diǎn).
(2)利用導(dǎo)數(shù)求出在區(qū)間上的最大值,在區(qū)間上的最大值,通過(guò)求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解:(Ⅰ)設(shè),則,
.
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,
所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
又,,,
故在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn).
(Ⅱ)記在區(qū)間上的最大值為,在區(qū)間上的最大值為.
依題意,“對(duì)任意,均存在,使得”等價(jià)于“”.
由(Ⅰ)知,在只有一個(gè)零點(diǎn),設(shè)為,
且當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,
所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
又,,所以當(dāng)時(shí),.
故應(yīng)滿足.
因?yàn)?/span>,所以.
①當(dāng)時(shí),,對(duì)任意,,不滿足.
②當(dāng)時(shí),令,得或.
(i)當(dāng),即時(shí),在上,,所以在上單調(diào)遞增,.
由,得,所以.
(ii)當(dāng),即時(shí),在上,,單調(diào)遞增;在上,,單調(diào)遞減..
由,得或,所以.
(iii)當(dāng),即時(shí),顯然在上,,單調(diào)遞增,于是,此時(shí)不滿足.
綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn),且在區(qū)間上單調(diào).又的圖象向左平移個(gè)單位之后與原來(lái)的圖象重合,當(dāng),且時(shí),,則( )
A.B.C.1D.-1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,,為拋物線上不重合的兩動(dòng)點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),,過(guò),作拋物線的切線,,直線,交于點(diǎn).
(1)求拋物線的方程;
(2)問(wèn):直線是否過(guò)定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo),若不是,說(shuō)明理由;
(3)三角形的面積是否存在最小值,若存在,請(qǐng)求出最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】學(xué)生考試中答對(duì)但得不了滿分的原因多為答題不規(guī)范,具體表現(xiàn)為:解題結(jié)果正確,無(wú)明顯推理錯(cuò)誤,但語(yǔ)言不規(guī)范、缺少必要文字說(shuō)明、卷面字跡不清、得分要點(diǎn)缺失等,記此類解答為“類解答”.為評(píng)估此類解答導(dǎo)致的失分情況,某市教研室做了一項(xiàng)試驗(yàn):從某次考試的數(shù)學(xué)試卷中隨機(jī)抽取若干屬于“類解答”的題目,掃描后由近百名數(shù)學(xué)老師集體評(píng)閱,統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),滿分12分的題,閱卷老師所評(píng)分?jǐn)?shù)及各分?jǐn)?shù)所占比例大約如下表:
教師評(píng)分(滿分12分) | 11 | 10 | 9 |
各分?jǐn)?shù)所占比例 |
某次數(shù)學(xué)考試試卷評(píng)閱采用“雙評(píng)+仲裁”的方式,規(guī)則如下:兩名老師獨(dú)立評(píng)分,稱為一評(píng)和二評(píng),當(dāng)兩者所評(píng)分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值小于等于1分時(shí),取兩者平均分為該題得分;當(dāng)兩者所評(píng)分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值大于1分時(shí),再由第三位老師評(píng)分,稱之為仲裁,取仲裁分?jǐn)?shù)和一、二評(píng)中與之接近的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分;當(dāng)一、二評(píng)分?jǐn)?shù)和仲裁分?jǐn)?shù)差值的絕對(duì)值相同時(shí),取仲裁分?jǐn)?shù)和前兩評(píng)中較高的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分.(假設(shè)本次考試閱卷老師對(duì)滿分為12分的題目中的“類解答”所評(píng)分?jǐn)?shù)及比例均如上表所示,比例視為概率,且一、二評(píng)與仲裁三位老師評(píng)分互不影響).
(1)本次數(shù)學(xué)考試中甲同學(xué)某題(滿分12分)的解答屬于“類解答”,求甲同學(xué)此題得分的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(2)本次數(shù)學(xué)考試有6個(gè)解答題,每題滿分均為12分,同學(xué)乙6個(gè)題的解答均為“類解答”,記該同學(xué)6個(gè)題中得分為的題目個(gè)數(shù)為,,,計(jì)算事件“”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,已知曲線:和曲線:,以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)求曲線和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點(diǎn)是曲線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作線段的垂線交曲線于點(diǎn),求線段長(zhǎng)度的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;
(Ⅱ)若在區(qū)間上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線P:的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線與拋物線P相交于A,B兩點(diǎn),設(shè),.
(1)求的值;
(2)是否存在常數(shù)a,當(dāng)點(diǎn)M在拋物線P上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線都與以MF為直徑的圓相切?若存在,求出所有a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是數(shù)列的前項(xiàng)和,且,,數(shù)列中,,且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),求的前項(xiàng)和;
(3)證明:對(duì)一切,
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