Question

【題目】如圖，某運(yùn)動員從A市出發(fā)沿海岸一條筆直公路以每小時15km的速度向東進(jìn)行長跑訓(xùn)練，長跑開始時，在A市南偏東方向距A市75km，且與海岸距離為45km的海上B處有一艘劃艇與運(yùn)動員同時出發(fā)，要追上這位運(yùn)動員.

（1）劃艇至少以多大的速度行駛才能追上這位運(yùn)動員？

（2）求劃艇以最小速度行駛時的行駛方向與所成的角.

（3）若劃艇每小時最快行駛11.25km，劃艇全速行駛，應(yīng)沿何種路線行駛才能盡快追上這名運(yùn)動員，最快需多長時間？

Answer 1

【答案】（1）9；（2）；（3）劃艇應(yīng)垂直于海岸向北的方向行駛才能盡快追上這名運(yùn)動員；.

【解析】

（1）設(shè)速度為，時間為，由余弦定理可得關(guān)于時間的函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出的最小值；

（2）利用余弦定理計(jì)算即可得出答案．

（3）假設(shè)劃艇沿著垂直于海岸的方向，即方向行駛需要，而運(yùn)動員剛好到點(diǎn)，即可得出結(jié)果.

（1）設(shè)劃艇以的速度從處出發(fā)，沿方向，后與運(yùn)動員在處相遇，

過作的垂線，則，，

在中，，，，

則，．

由余弦定理，得，

得．

整理得：．

當(dāng)，即時，取得最小值81，即，

所以劃艇至少以9的速度行駛才能把追上這位運(yùn)動員．

（2）當(dāng)時，

在中，，，，

由余弦定理，得，

所以，

所以劃艇以最小速度行駛時的行駛方向與所成的角為．

（3）劃艇每小時最快行駛11.25km全速行駛，

假設(shè)劃艇沿著垂直于海岸的方向，即方向行駛，而，

此時到海岸距離最短，需要的時間最少，

所以需要：，而時運(yùn)動員向東跑了：，

而，即時，劃艇和運(yùn)動員相遇在點(diǎn).

所以劃艇應(yīng)垂直于海岸向北的方向行駛才能盡快追上這名運(yùn)動員，最快需要.