【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足Sn+n=2annN*).

1)證明:數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)若bn=2n+1an+2n+1,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn.求滿足不等式2010n的最小值.

【答案】(1)an=2n-1nN*;(2)n的最小值為10.

【解析】試題分析:本題屬于基礎(chǔ)題.對已知條件,用代替,兩式相減可得,湊配得,由此可證得是等比數(shù)列,從而求出通項(xiàng)公式,這是已知數(shù)列前項(xiàng)和與項(xiàng)之間關(guān)系的一般處理方法;(2)由(1)可得,采用錯(cuò)位相減法可求出其前項(xiàng)和 ,不等式>2 010就轉(zhuǎn)化為,可知n的最小值是10.

試題解析:(1)因?yàn)?/span>Snn2an,所以Sn12an1(n1)(n≥2n∈N*).兩式相減,得an2an11.

所以an12(an11)(n≥2,n∈N*),所以數(shù)列{an1}為等比數(shù)列.

因?yàn)?/span>Snn2an,令n1a11.

a112,所以an12n,所以an2n1.

(2)因?yàn)?/span>bn(2n1)an2n1,所以bn(2n1)·2n.

所以Tn3×25×227×23(2n1)·2n1(2n1)·2n,

2Tn3×225×23(2n1)·2n(2n1)·2n1,

,得-Tn3×22(22232n)(2n1)·2n1

6(2n1)·2n1

=-22n2(2n1)·2n1=-2(2n1)·2n1.

所以Tn2(2n1)·2n1.

>2 010,

>2 010,即2n1>2 010.

由于2101 024,2112 048,所以n1≥11,即n≥10.

所以滿足不等式>2 010n的最小值是10.

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