【題目】已知橢圓： （）的兩個(gè)焦點(diǎn)為， ，離心率為，點(diǎn)， 在橢圓上， 在線段上，且的周長(zhǎng)等于．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過圓： 上任意一點(diǎn)作橢圓的兩條切線和與圓交于點(diǎn)， ，求面積的最大值．

【答案】（1）；（2）取最大值.

【解析】試題分析：（1）由的周長(zhǎng)為可得，由離心率得，進(jìn)而的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先根據(jù)韋達(dá)定理證明兩切斜線斜率積為，進(jìn)而得兩切線垂直，得線段為圓的直徑， ，然后根據(jù)不等式及圓的幾何意義求的最大值．

試題解析：（1）由的周長(zhǎng)為，得， ，由離心率，得， ．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ．

（2）設(shè)，則．

（ⅰ）若兩切線中有一條切線的斜率不存在，則， ，另一切線的斜率為0，從而．此時(shí)， ．

（ⅱ）若切線的斜率均存在，則，設(shè)過點(diǎn)的橢圓的切線方程為，

代入橢圓方程，消并整理得： ．

依題意， ．

設(shè)切線， 的斜率分別為， ，從而，即．

線段為圓的直徑， ．

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， 取最大值4．由（ⅰ）（ⅱ）可得： 最大值是4．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某中學(xué)從高三男生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的身高數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到下側(cè)的頻率分布表

（Ⅰ）求出頻率分布表中①和②位置上相應(yīng)的數(shù)據(jù)；

（Ⅱ）為了能對(duì)學(xué)生的體能做進(jìn)一步了解，該校決定在第3，4，5 組中用分層抽樣的方法抽取6 名學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試，求第3，4，5 組每組各應(yīng)抽取多少名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，學(xué)校決定在6 名學(xué)生中隨機(jī)抽取2 名學(xué)生進(jìn)行引體向上測(cè)試，求第4 組中至少有一名學(xué)生被抽中的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】7人站成一排.（寫出必要的過程，結(jié)果用數(shù)字作答）

（1）甲、乙兩人相鄰的排法有多少種？

（2）甲、乙兩人不相鄰的排法有多少種？

（3）甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法有多少種？

（4）甲、乙、丙三人至多兩人不相鄰的排法有多少種？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：，，…，，并整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率；

(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；

(3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等，試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】長(zhǎng)時(shí)間用手機(jī)上網(wǎng)嚴(yán)重影響著學(xué)生的身體健康，某校為了解兩班學(xué)生手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長(zhǎng)，分別從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取5名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，將他們平均每周手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長(zhǎng)作為樣本，繪制成莖葉圖如圖所示（圖中莖葉表示十位數(shù)字，葉表示個(gè)位數(shù)字）．

（1）分別求出圖中所給兩組樣本數(shù)據(jù)的平均值，并據(jù)此估計(jì)，哪個(gè)班的學(xué)生平均上網(wǎng)時(shí)間較長(zhǎng)；

（2）從班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè)不超過19的數(shù)據(jù)記為，從班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè)不超過21的數(shù)據(jù)記為，求的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）若函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，為的重心，.

（1）求證：平面；

（2）若側(cè)面底面，，，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線

(1)若，過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，且，求直線的方程；

(2)若曲線表示圓時(shí)，已知圓與圓交于兩點(diǎn)，若弦所在的直線方程為， 為圓的直徑，且圓過原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）對(duì)于函數(shù)，，，若對(duì)于區(qū)間上的任意一個(gè)，都有，則稱函數(shù)是函數(shù)，在區(qū)間上的一個(gè)“分界函數(shù)”.已知，，問是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)是函數(shù)，在區(qū)間上的一個(gè)“分界函數(shù)”？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由.

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