Question

已知函數(shù)．
（1）證明函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng);
（2）若，求；
（3）在（2）的條件下，若 ，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)一切都成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013210080442.png" style="vertical-align:middle;" />，設(shè)、是函數(shù)圖像上的兩點(diǎn), 其中且,則有，因此函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（2）（3）

試題分析：（1） 證明：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013210080442.png" style="vertical-align:middle;" />， 設(shè)、是函數(shù)圖像上的兩點(diǎn), 其中且,
則有 
因此函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)                           4分
（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，
①     ②
①+②得                         8分
（3）當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)， =
∴ （）
又對(duì)一切都成立，即恒成立
∴恒成立，又設(shè),所以在上遞減,所以在處取得最大值
∴，即
所以的取值范圍是                                12分
點(diǎn)評(píng)：證明函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)只需證明，第二問(wèn)數(shù)列求和結(jié)合通項(xiàng)的特點(diǎn)采用倒序相加法，第三問(wèn)將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，進(jìn)而可借助于導(dǎo)數(shù)求解