Question

【題目】已知橢圓經過點，離心率為，動點．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）求以為直徑且被直線截得的弦長為2的圓的方程；

（Ⅲ）設是橢圓的右焦點，過點作的垂線與以為直徑的圓交于點，證明：線段的長為定值，并求出這個定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）線段的長為定值.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)離心率，且過點，解方程組得：

， ，所以橢圓方程為．（Ⅱ）以根據(jù)平面幾何得知識，利用弦心距、半弦長、半徑構成直角三角形可求半徑． （Ⅲ）過點作的垂線，垂足設為，由平面幾何知： ,根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關系得： ，所以線段的長為定值．

試題解析：（Ⅰ）由題意得，①

因為橢圓經過點，所以，②

又，③

由①②③解得， ，

所以橢圓方程為．

（Ⅱ）以為直徑的圓的圓心為，半徑，

方程為，

因為以為直徑的圓被直線截得的弦長為2，

所以圓心到直線的距離．

所以，解得，

所求圓的方程為．

（Ⅲ）過點作的垂線，垂足設為，由平面幾何知： ．

則直線： ，直線： ，

由得，

∴，

所以線段的長為定值．