Question

【題目】如圖，四棱錐的側(cè)面是正三角形，底面是直角梯形，.

（1）求證：；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取中點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得，根據(jù)直角梯形以及中位線得，最后根據(jù)線面垂直判定定理以及性質(zhì)定理證得結(jié)果；

（2）解法一，建立空間直角坐標(biāo)系，先求平面一個(gè)法向量，再根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果；

解法二，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，利用平行轉(zhuǎn)化求點(diǎn)到平面的距離，過點(diǎn)作，可證平面，再根據(jù)直角三角形求得結(jié)果.

（1）證明：取中點(diǎn)，連，，

因?yàn)?/span>是正三角形，所以，

又是中點(diǎn)，所以，

因?yàn)?/span>，所以，

所以，因?yàn)?/span>平面,

所以平面，

所以.

（2），又，所以，則，

又，所以平面，所以平面平面，

由定理可知平面，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，

則，，，，

設(shè)平面的法向量為，

可取，

又，

所以，.

即直線與平面所成角的正弦值為.

解法二：

，又，所以，則，

又，所以平面，所以平面平面，

平面平面，

由定理可知平面，不妨設(shè)，

在中，，，所以.

設(shè)直線與平面所成角為，點(diǎn)到平面的距離為，

因?yàn)?/span>，平面，

所以平面，故點(diǎn)到平面的距離也為，

過點(diǎn)作，垂足為，由定理即知平面，

在中，，

所以，.