Question

【題目】某商場(chǎng)在一部向下運(yùn)行的手扶電梯終點(diǎn)的正上方豎直懸掛一幅廣告畫(huà)．如圖，該電梯的高AB為4米，它所占水平地面的長(zhǎng)AC為8米．該廣告畫(huà)最高點(diǎn)E到地面的距離為10.5米，最低點(diǎn)D到地面的距離6.5米．假設(shè)某人的眼睛到腳底的距離MN為1.5米，他豎直站在此電梯上觀看DE的視角為θ．

（1）設(shè)此人到直線EC的距離為x米，試用x表示點(diǎn)M到地面的距離；

（2）此人到直線EC的距離為多少米時(shí)，視角θ最大？

Answer 1

【答案】（1）；（2）此人到直線EC的距離為6米時(shí)，視角θ最大．

【解析】試題分析：

（1）延長(zhǎng)交于，即為所求，只要求得即可，這在中可求；

（2）作于，則，求出這兩個(gè)角的正切值，由兩角差的正切公式求出，最后由基本不等式可求得最大值．

試題解析：

（1）作MG⊥CE交于點(diǎn)G，作NH⊥AC交于H，則CH＝GM＝x．

在Rt△BAC中，因?yàn)?/span>AB＝4，AC＝8，所以tan∠BCA＝，

所以NH＝CH·tan∠BCA＝，

所以MH＝MN＋NH＝．

（2）因?yàn)?/span>MH＝GC，

所以DG＝DC－GC＝DC－MH＝5－，

EG＝EC－GC＝EC－MH＝9－．

在Rt△DGM中，tan∠DMG＝＝，

在Rt△EGM中，tan∠EMG＝＝，

所以tanθ＝tan∠EMD＝tan(∠EMG－∠DMG)

＝＝

＝

＝（0＜x≤8）．

由x＞0，得5x＞0，＞0，所以5x－28＋≥2－28＝32，

所以tanθ＝≤．

當(dāng)且僅當(dāng)5x＝，即x＝6時(shí)取“＝”，且6∈(0，8]．

因?yàn)?/span>y＝tanθ在區(qū)間(0，)上是單調(diào)增函數(shù)，

所以當(dāng)x＝6米時(shí)，tanθ取最大值，此時(shí)視角θ取最大值．

答：此人到直線EC的距離為6米時(shí)，視角θ最大．