Question

（2012•閔行區(qū)一模）將邊長(zhǎng)分別為1、2、3、…、n、n+1、…（n∈N^*）的正方形疊放在一起，形成如圖所示的圖形，由小到大，依次記各陰影部分所在的圖形為第1個(gè)、第2個(gè)、…、第n個(gè)陰影部分圖形．容易知道第1個(gè)陰影部分圖形的周長(zhǎng)為8．設(shè)前n個(gè)陰影部分圖形的周長(zhǎng)的平均值為f（n），記數(shù)列{a_n}滿足an=

f(n)，當(dāng)n為奇數(shù) f(an-1) ，當(dāng)n為偶數(shù)

．
（1）求f（n）的表達(dá)式；
（2）寫出a₁，a₂，a₃的值，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）記b_n=a_n+s（s∈R），若不等式

.

bn+1 bn+1 bn+2 bn

.

＞0有解，求s的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由圖形觀察，得第n個(gè)陰影部分圖形的周長(zhǎng)為8n，利用等差數(shù)列的求和公式即可得到f（n）的表達(dá)式；
（2）根據(jù)題中a_n的表達(dá)式，不難寫出它3項(xiàng)，再分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩種情況加以討論，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得a_n關(guān)于n的分段函數(shù)的表達(dá)式；
（3）利用行列式乘法法則，得原不等式有解即b_n+1（b_n-b_n+2）＞0有解，再分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩種情況加以討論，最后綜合可得實(shí)數(shù)s的取值范圍．

解答：解：（1）根據(jù)題意，第1個(gè)陰影部分圖形的周長(zhǎng)為8，第2個(gè)陰影部分圖形的周長(zhǎng)為16，…，
第n個(gè)陰影部分圖形的周長(zhǎng)為8n，（2分）
故f（n）=

8+8n 2 ×n

n

=4n+4．       （4分）
（2）a₁=f（1）=8，a₂=f（a₁）=f（8）=36，a₃=f（3）=20，
①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n=f（n）=4n+4            （3分）
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n=f（a_n-1）=4a_n-1+4=4[4（n-1）+4]+4=16n+4，
∴a_n=

4n+4      n為奇數(shù) 16n+4    n為偶數(shù)

．                  （5分）
（3）b_n=a_n+s=

4n+4+s      n為奇數(shù) 16n+4+s    n為偶數(shù)

.

bn+1 bn+1 bn+2 bn

.

＞0有解，即b_n+1b_n-b_n+1b_n+2=b_n+1（b_n-b_n+2）＞0有解，
①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，b_n+1（b_n-b_n+2）＞0即
[16（n+1）+4+s][4n+4+s-4（n+2）-4-s]＞0，
亦即16（n+1）+4+s＜0有解，故s＜（-16n-20）_max=-36         （3分）
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，b_n+1（b_n-b_n+2）＞0即
即[4（n+1）+4+s][16n+4+s-16（n+2）-4-s]＞0，
于是4（n+1）+4+s＜0，故s＜（-4n-8）_max=-16．           （5分）
欲使

.

bn+1 bn+1 bn+2 bn

.

＞0有解，以上兩種情況至少一個(gè)成立，
故s的取值范圍是s＜-16．                            （7分）

點(diǎn)評(píng)：本題以一個(gè)實(shí)際問題為例，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式、二階行列式的計(jì)算和不等式解集非空的討論等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．