Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)， ；

（Ⅲ）確定實(shí)數(shù)的值，使得存在，當(dāng)時(shí)，恒有.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析（3）

【解析】【試題分析】（I）先求函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)令導(dǎo)數(shù)大于零即可求得函數(shù)的遞增區(qū)間.（II）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在時(shí)函數(shù)值小于零，由此證得不等式成立.（III）由（II）可知時(shí)不存在.當(dāng)時(shí)，有，則，故也不存在.當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)致證得不等式成立，故.

【試題解析】

（Ⅰ）， .

由得解得.

故的單調(diào)遞增區(qū)間是.

（Ⅱ）令， .

則有.

當(dāng)時(shí)， ，

所以在上單調(diào)遞減，

故當(dāng)時(shí)， ，即當(dāng)時(shí)， .

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，不存在滿足題意.

當(dāng)時(shí)，對(duì)于，有，則，從而不存在滿足題意.

當(dāng)時(shí)，令， ，

則有 .

由得， .

解得， .

當(dāng)時(shí)， ，故在內(nèi)單調(diào)遞增.

從而當(dāng)時(shí)， ，即，

綜上， 的取值范圍是.