Question

已知函數(shù)，它的一個(gè)極值點(diǎn)是．
(Ⅰ) 求的值及的值域；
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)，試求函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

(Ⅰ) 當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021028026359.png" style="vertical-align:middle;" />；當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021028088671.png" style="vertical-align:middle;" />；(Ⅱ) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)．

試題分析：(Ⅰ)因?yàn)樗�的一個(gè)極值點(diǎn)是，所以有，可求出的值，從而求出值域；(Ⅱ) 函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題．
試題解析：（1），因?yàn)樗�的一個(gè)極值點(diǎn)是，所以有，可得或．當(dāng)時(shí)，分析可知：在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；由此可求得，的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021028026359.png" style="vertical-align:middle;" />；當(dāng)時(shí)，分析可知：在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；由此可求得，的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021028088671.png" style="vertical-align:middle;" />．
(Ⅱ)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題．．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021028650522.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，所以．設(shè)，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即有．所以．所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．
（�。┊�(dāng)時(shí)，，，，
而，結(jié)合（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得，此時(shí)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)．
(ⅱ)當(dāng)時(shí)，，由于，所以，此時(shí)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，即函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)．