Question

（Ⅰ）在三角形ABC中，|AC|=2，|AB|=1，∠BAC=60°，G是三角形ABC的重心，求

GB

•

GC

．
（Ⅱ）已知向量

a

=（cos

3x

2

，sin

3x

2

），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），|

a

+

b

|=1，x∈[0，π]，求x．

Answer 1

分析：（I）利用向量的運(yùn)算法則和重心定理及數(shù)量積運(yùn)算即可得出；
（II）利用模的計(jì)算公式和三角函數(shù)的平方關(guān)系及其兩角和差的余弦公式即可得出．

解答：解：（I）設(shè)

AB

=

a

，

AC

=

b

．
則

GB

=

2

3

EB

=

2

3

(

a

-

1

2

b

)，

GC

=

2

3

FC

=

2

3

(

b

-

1

2

a

)．
∴

GB

•

GC

=

2

3

(

a

-

1

2

b

)•

2

3

(

b

-

1

2

a

)
=

4

9

(

a

•

b

-

1

2

a

2-

1

2

b

2+

1

4

a

•

b

)
=

4

9

(

5

4

a

•

b

-

1

2

a

2-

1

2

b

2)
=

4

9

(

5

4

|

a

| |

b

|cos60°-

1

2

|

a

|2-

1

2

|

b

|2)
=

5

9

．
（II）∵|

a

+

b

|=

(cos 3x 2 +cos x 2 )2+(sin 3x 2 -sin x 2 )2

=

2+2(cos 3x 2 cos x 2 -sin 3x 2 sin x 2 )

=

2+2cos2x

=1，
∴cos2x=-

1

2

，
又x∈[0，π]，∴2x∈[0，2π]．
∴2x=

2π

3

或

4π

3

，
解得x=

π

3

或x=

2π

3

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握向量的運(yùn)算法則和重心定理及數(shù)量積運(yùn)算、模的計(jì)算公式和三角函數(shù)的平方關(guān)系及其兩角和差的余弦公式是解題的關(guān)鍵．