Question

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù).　

（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；

（2）當(dāng)時，對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可（2）當(dāng)時， ，則 ，∴函數(shù)是奇函數(shù)，對于任意，不等式恒成立，等價為對于任意，不等式恒成立，即，在恒成立，即，在恒成立，設(shè)，則等價為即可.討論軸與區(qū)間的位置關(guān)系求最小值即得解.

試題解析：

（1）函數(shù)在上是增函數(shù).

證明如下：

任取， ，且，

則，

∵，∴， ， ，∴，

∴，∴函數(shù)在上是增函數(shù).

（2）由（1）知函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，當(dāng)時， ，則 ，

∴函數(shù)是奇函數(shù)，

則對于任意，不等式恒成立，

等價為對于任意，不等式恒成立，

即，在恒成立

即，在恒成立，

設(shè)，則等價為即可.

即，

當(dāng)，則函數(shù)的最小值為，得，不成立，

當(dāng)，則函數(shù)的最小值為，得，

當(dāng)，則函數(shù)的最小值為，得.

綜上.