Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點P(x0，y0)在曲線y＝x2(x＞0)上．已知A(0，－1)，，n∈N*．記直線APn的斜率為kn．

（1）若k1＝2，求P1的坐標；

（2）若k1為偶數(shù)，求證：kn為偶數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）(1，1)（2）詳見解析

【解析】

試題（1）由兩點間斜率公式得，解方程得P1的坐標（2）先求出kn＝，再利用k1為偶數(shù)表示x0，設(shè)k1＝2p(pN*)，則x0＝p±．最后利用二項式展開定理證明kn為偶數(shù)

試題解析：解：（1）因為k1＝2，所以，

解得x0＝1，y0＝1，所以P1的坐標為(1，1)．

（2）設(shè)k1＝2p(pN*)，即，

所以－2px0＋1＝0，所以x0＝p±．

因為y0＝x02，所以kn＝

所以當x0＝p＋時，

kn＝(p＋)n＋()n＝(p＋)n＋(p－)n．

同理，當 x0＝p－時，kn＝(p＋)n＋(p－)n．

①當n＝2m(mN*)時， kn＝2，所以kn為偶數(shù)．

②當n＝2m＋1(mN)時，kn＝2，所以kn為偶數(shù)．

綜上， kn為偶數(shù)．