【題目】已知拋物線,過焦點F的直線l與拋物線分別交于A、B兩點,O為坐標原點,且.
(1)求拋物線的標準方程;
(2)對于拋物線上任一點Q,點P(2t,0)都滿足|PQ|≥2|t|,求實數(shù)t的取值范圍.
【答案】(1) ;(2)(﹣∞,]
【解析】
(1)設(shè)出過焦點F的直線l的方程,與拋物線方程聯(lián)立,利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系,結(jié)合,可以求出拋物線的標準方程;
(2)設(shè)出點Q坐標,根據(jù)|PQ|≥2|t|,根據(jù)點Q橫坐標的取值范圍,結(jié)合不等式的性質(zhì)可以求出實數(shù)t的取值范圍.
(1)拋物線的焦點F(,0),設(shè)直線l的方程為x=my,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立拋物線方程可得y2﹣2pmy﹣p2=0,
可得,
則 ,
由,可得
解得p,即拋物線的方程為y2=x;
(2)設(shè)點Q的坐標為(x0,y0),有y02=x0,
由|PQ|≥2|t|,即2|t|,整理可得x02﹣4tx0+y02≥0,
即x02﹣4tx0+x0≥0,可得x0(x0﹣4t+1)≥0,
由x0≥0,可得x0﹣4t+1≥0,即1﹣4t≥0,可得t,
則t的取值范圍是(﹣∞,].
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【題目】已知橢圓(常數(shù)),P是曲線C上的動點,M是曲線C的右頂點,定點A的坐標為.
(1)若M與A重合,求曲線C的焦距.
(2)若,求的最大值與最小值.
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【題目】若函數(shù)在其圖象上存在不同的兩點,,其坐標滿足條件: 的最大值為0,則稱為“柯西函數(shù)”,則下列函數(shù):① :②:③:④.
其中為“柯西函數(shù)”的個數(shù)為( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【題目】已知橢圓C: (a>b>0),四點P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1, )中恰有三點在橢圓C上.
(1)求C的方程;
(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1,證明:l過定點.
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【題目】已知圓M過兩點A(1,﹣1),B(﹣1,1),且圓心M在x+y﹣2=0上,
(Ⅰ)求圓M的方程;
(Ⅱ)設(shè)P是直線x+y+2=0上的動點.PC,PD是圓M的兩條切線,C,D為切點,求四邊形PCMD面積的最小值.
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【題目】已知橢圓C: (a>b>0)的一個頂點為A(2,0),離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M,N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)當(dāng)△AMN的面積為時,求k的值.
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