【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左頂點為,右焦點為為橢圓上兩點,圓.

1)若軸,且滿足直線與圓相切,求圓的方程;

2)若圓的半徑為,點滿足,求直線被圓截得弦長的最大值.

【答案】12

【解析】

試題(1)確定圓的方程,就是確定半徑的值,因為直線與圓相切,所以先確定直線方程,即確定點坐標(biāo):因為軸,所以,根據(jù)對稱性,可取,則直線的方程為,根據(jù)圓心到切線距離等于半徑得2)根據(jù)垂徑定理,求直線被圓截得弦長的最大值,就是求圓心到直線的距離的最小值. 設(shè)直線的方程為,則圓心到直線的距離,利用,化簡得,利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組并結(jié)合韋達(dá)定理得,因此,當(dāng)時,取最小值,取最大值為.

試題解析:解:(1

因為橢圓的方程為,所以.

因為軸,所以,而直線與圓相切,

根據(jù)對稱性,可取

則直線的方程為,

.

由圓與直線相切,得,

所以圓的方程為.

2

易知,圓的方程為.

當(dāng)軸時,,

所以

此時得直線被圓截得的弦長為.

當(dāng)軸不垂直時,設(shè)直線的方程為,,

首先由,得

,

所以*.

聯(lián)立,消去,得,

代入(*)式,

.

由于圓心到直線的距離為,

所以直線被圓截得的弦長為,故當(dāng)時,有最大值為.

綜上,因為,所以直線被圓截得的弦長的最大值為.

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1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

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某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個等級,等級系數(shù)X依次為1,2,……,8,其中X≥5為標(biāo)準(zhǔn)A,X≥3為標(biāo)準(zhǔn)B,已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品,產(chǎn)品的零售價為6/件;乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品,產(chǎn)品的零售價為4/件,假定甲、乙兩廠得產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)

I)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下所示:

X1的數(shù)字期望EX1=6,求a,b的值;

II)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2,從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件,相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本,數(shù)據(jù)如下:

3 5 3 3 8 5 5 6 3 4

6 3 4 7 5 3 4 8 5 3

8 3 4 3 4 4 7 5 6 7

用這個樣本的頻率分布估計總體分布,將頻率視為概率,求等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望.

在(I)、(II)的條件下,若以性價比為判斷標(biāo)準(zhǔn),則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性?說明理由.

注:(1)產(chǎn)品的性價比”=

2性價比大的產(chǎn)品更具可購買性.

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1)求橢圓的方程;

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