Question

【題目】已知f（x）=ax3+bx2+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），且在x=1處的切線方程是y=x．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=ax3+bx2+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），則c=1，

f′（x）=3ax2+2bx，f′（1）=3a+2b=1①，

切點(diǎn)為（1，1），則f（x）=ax3+bx2+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1），

得a+b+1=1②，聯(lián)立①②解得a=1，b=﹣1，

∴f（x）=x3﹣x2+1

（2）解：f′（x）=3x2﹣2x＞0得x＜0或x＞ ，

單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，0），（ ，+∞）

【解析】（1）由f（x）=ax3+bx2+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），得c=1，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f′（1）=3a+2b=1①，易求切點(diǎn)（1，1），代入函數(shù)解析式可得a+b+1=1②，聯(lián)立可解；（2）解不等式f′（x）＞0可得增區(qū)間，注意寫成區(qū)間形式；
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．