【題目】已知函數(shù).
(1)若,恒有成立,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)有兩個極值點,求證:.
【答案】(1);(2)見解析.
【解析】試題分析:(1)分離參數(shù),構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可;
(2)函數(shù)有兩個極值點,即導(dǎo)函數(shù)有兩個不同的實數(shù)根,對進行分類討論,令,構(gòu)造,利用的單調(diào)性證明不等式即可.
試題解析:
(1)由,恒有成立,即,對任意成立,
記,,
當(dāng),單增;當(dāng),單減;最大值為,
所以
(2)函數(shù)有兩個相異的極值點,即有兩個不同的實數(shù)根.
①當(dāng)時, 單調(diào)遞增, 不可能有兩個不同的實根;
②當(dāng)時,設(shè),,
當(dāng)時,,單調(diào)遞增;
當(dāng)時,,單調(diào)遞減;
∴,∴,
不妨設(shè),∵,
∴,,,
先證,即證,即證,
令,即證,設(shè),
則,函數(shù)在單調(diào)遞減,
∴,∴,又,∴,
∴
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【題目】寫出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(1)y=|x+1|; (2)y=-x2+ax;
(3)y=|2x-1|; (4)y=-.
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【題目】【2017屆廣東省深圳市高三下學(xué)期第一次調(diào)研考試(一模)數(shù)學(xué)(文)】已知函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù),為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,證明:;
(3)當(dāng)時,判斷函數(shù)零點的個數(shù),并說明理由.
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【題目】某研究小組在電腦上進行人工降雨模擬實驗,準(zhǔn)備用、、三種人工降雨方式分別對甲、乙、丙三地實施人工降雨,其試驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表:
方式 | 實施地點 | 大雨 | 中雨 | 小雨 | 模擬實驗總次數(shù) |
甲 | 4次 | 6次 | 2次 | 12次 | |
乙 | 3次 | 6次 | 3次 | 12次 | |
丙 | 2次 | 2次 | 8次 | 12次 |
假定對甲、乙、丙三地實施的人工降雨彼此互不影響,請你根據(jù)人工降雨模擬實驗的統(tǒng)計數(shù)據(jù):
(Ⅰ)求甲、乙、丙三地都恰為中雨的概率;
(Ⅱ)考慮到旱情和水土流失,如果甲地恰需中雨即達(dá)到理想狀態(tài),乙地必須是大雨才達(dá)到理想狀態(tài),丙地只能是小雨或中雨即達(dá)到理想狀態(tài),記“甲、乙、丙三地中達(dá)到理想狀態(tài)的個數(shù)”為隨機變量,求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】(本小題滿分14分)
如圖,邊長為4的正方形中,點分別是上的點,將折起,使兩點重合于.
(1)求證:;
(2)當(dāng)時,
求四棱錐的體積.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在點處的切線方程為,求的值;
(2)若在區(qū)間上,函數(shù)的圖象恒在直線下方,求的取值范圍.
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【題目】設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且對任意的,都有.當(dāng)時,.若直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的公共點,則實數(shù)的值是( )
A. B.
C. 或 D. 或
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【題目】已知數(shù)列的前項和為,且滿足,求數(shù)列的通項公式.勤于思考的小紅設(shè)計了下面兩種解題思路,請你選擇其中一種并將其補充完整.
思路1:先設(shè)的值為1,根據(jù)已知條件,計算出_________, __________, _________.
猜想: _______.
然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.證明過程如下:
①當(dāng)時,________________,猜想成立
②假設(shè)(N*)時,猜想成立,即_______.
那么,當(dāng)時,由已知,得_________.
又,兩式相減并化簡,得_____________(用含的代數(shù)式表示).
所以,當(dāng)時,猜想也成立.
根據(jù)①和②,可知猜想對任何N*都成立.
思路2:先設(shè)的值為1,根據(jù)已知條件,計算出_____________.
由已知,寫出與的關(guān)系式: _____________________,
兩式相減,得與的遞推關(guān)系式: ____________________.
整理: ____________.
發(fā)現(xiàn):數(shù)列是首項為________,公比為_______的等比數(shù)列.
得出:數(shù)列的通項公式____,進而得到____________.
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【題目】隨著人口老齡化的到來,我國的勞動力人口在不斷減少,“延遲退休”已經(jīng)成為人們越來越關(guān)心的話題,為了解公眾對“延遲退休”的態(tài)度,某校課外研究性學(xué)習(xí)小組在某社區(qū)隨機抽取了50人進行調(diào)查,將調(diào)查情況進行整理后制成下表:
年齡 | |||||
人數(shù) | 4 | 5 | 8 | 5 | 3 |
年齡 | |||||
人數(shù) | 6 | 7 | 3 | 5 | 4 |
經(jīng)調(diào)查年齡在,的被調(diào)查者中贊成“延遲退休”的人數(shù)分別是3人和2人,現(xiàn)從這兩組的被調(diào)查者中各隨機選取2人,進行跟蹤調(diào)查.
(Ⅰ)求年齡在的被調(diào)查者中選取的2人都贊成“延遲退休”的概率;
(Ⅱ)若選中的4人中,不贊成“延遲退休”的人數(shù)為,求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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