Question

（本小題滿分13分）
已知直線，圓.
(Ⅰ)證明：對任意，直線恒過一定點N，且直線與圓C恒有兩個公共點；
(Ⅱ)設以CN為直徑的圓為圓D（D為CN中點），求證圓D的方程為：
（Ⅲ）設直線與圓的交于A、B兩點，與圓D:交于點（異于C、N），當變化時，求證為AB的中點.

Answer 1

(Ⅰ)∵N在圓C內，∴直線與圓C恒有兩個公共點.
(Ⅱ)軌跡的方程為.

試題分析：（1）利用圓心到直線的距離小于半徑，判定，直線l與圓C總有兩個不同交點A、B；
（2）求解CN的中點坐標和CN的長度的一半得到圓心和半徑進而求解圓的方程。
（3）利用圓的方程以及交點問題得到求證。
(Ⅰ)方法1：聯(lián)立方程組
消去，得

∴直線與圓恒有兩個公共點………………………………………………6分
方法2：將圓化成標準方程為
由可得：.
解得，所以直線過定點N(1,-1)
∵N在圓C內，∴直線與圓C恒有兩個公共點.…………………………6分
(Ⅱ)設CN的中點為D，由于°，
∴
∴M點的軌跡為以CN為直徑的圓.
CN中點D的坐標為(,0)，.
∴軌跡的方程為.……………………13分
點評：解決該試題的關鍵是對于圓的方程的求解的常用方法的運用，以及通過圓心到直線的距離判定線圓的位置關系的運用。