Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，橢圓的離心率為，橢圓上動點到一個焦點的距離的最小值為．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）已知過點的動直線l與橢圓C交于 A，B 兩點，試判斷以AB為直徑的圓是否恒過定點，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在以AB為直徑的圓恒過定點T，且定點T的坐標為．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率為，橢圓上動點到一個焦點的距離的最小值為，結合 ，列出關于 、 、的方程組，求出 、 、即可得結果；（2）設過點的直線 的方程為與橢圓交于,則整理得，根據(jù)韋達定理及平面向量數(shù)量積公式可將表示為的函數(shù)，消去可得，從而可得，存在以為直徑的圓恒過定點 ，且定點的坐標為.

試題解析：（1）由題意，故， 又橢圓上動點到一個焦點的距離的最小值為，所以，解得，，所以， 所以橢圓C的標準方程為.

（2）當直線l的斜率為0時，令，則，此時以AB為直徑的圓的方程為．

當直線l的斜率不存在時，以AB為直徑的圓的方程為， 聯(lián)立解得，即兩圓過點．

猜想以AB為直徑的圓恒過定點．

對一般情況證明如下：

設過點的直線l的方程為與橢圓C交于,

則整理得，

所以．

因為

，

所以．

所以存在以AB為直徑的圓恒過定點T，且定點T的坐標為．

【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓標準方程、直線與橢圓的位置關系以及曲線過定點問題，屬于難題.解決曲線過定點問題一般有兩種方法：① 探索曲線過定點時，可設出曲線方程 ，然后利用條件建立等量關系進行消元，借助于曲線系的思想找出定點，或者利用方程恒成立列方程組求出定點坐標.② 從特殊情況入手，先探求定點，再證明與變量無關.