Question

已知直線x-2y+4=0經(jīng)過橢圓C：（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓C的右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P是橢圓C上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AP，BP與直線l：x=5分別交于M，N兩點(diǎn).
（1）求橢圓C的方程；
（2）求線段MN的長(zhǎng)度的最小值；
（3）當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，Q點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，記△BPQ的面積為S，當(dāng)S在（0，+∞）上變化時(shí)，討論S的大小與Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。

Answer 1

解：（1）由已知得橢圓C的左頂點(diǎn)為A（-4，0），上頂點(diǎn)為D（0，2），
∴a=4，b=2，
故橢圓C的方程為：；
（2）直線AP的斜率k顯然存在，且k＞0，故可設(shè)直線AP的方程為y=k（x+4），從而
設(shè)
則
∴直線的方程為：
得
∴
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立
∴時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度取最小值3；
（3）由（2）知，當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度取最小值時(shí)
此時(shí)直線BP的方程為
，
設(shè)與BP平行的直線
聯(lián)立得
由得
當(dāng)時(shí)，BP與l′的距離為，此時(shí)S_△BPQ=
當(dāng)時(shí)，BP與l′的距離為，此時(shí)S_△BPQ=
∴當(dāng)時(shí)，這樣的Q點(diǎn)有4個(gè)
當(dāng)時(shí)，這樣的Q點(diǎn)有3個(gè)
當(dāng)時(shí)，這樣的Q點(diǎn)有2個(gè)
當(dāng)時(shí)，這樣的Q點(diǎn)有1個(gè)
當(dāng)時(shí)，這樣的Q點(diǎn)不存在。